Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線AD分別與BC、⊙O交于E、D．
（1）求證：；
（2）若BA=BC=1，且E是AD的中點(diǎn)，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

證明：（1）連接DB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB，
∴∠DBE=∠DAC=∠DAB，且∠D=∠D，
∴△DBE∽△DAB，
∴=，
又∵△DBE∽△CAE，=，
∴=，即=；


（2）解：∵△DBE∽△DAB，
∴==，
∴BD²=DE•DA=2DE²，
∴BD=DE，
∴=，且BA=1，
∴BE=，CE=1-．
由（1）得=，
∴AC=-1．
分析：（1）連接DB，根據(jù)AD平分∠BAC可得出∠DAC=∠DAB，進(jìn)而可得出△DBE∽△DAB，△DBE∽△CAE，再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可解答；
（2）根據(jù)△DBE∽△DAB可得出BD²=DE•DA=2DE²求出CE、BE的值，再由（1）得=即可得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及圓周角定理，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．