Question

17．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，D是邊AB上的一點(diǎn)，且∠A=2∠DCB，E是BC上的一點(diǎn)，以EC為直徑的⊙O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）若CD=2$\sqrt{3}$，BE=EO，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接OD，如圖1所示，由OD=OC，根據(jù)等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由∠DOB為△COD的外角，利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和，等量代換可得出∠DOB=2∠DCB，又∠A=2∠DCB，可得出∠A=∠DOB，又∠ACB=90°，可得出直角三角形ABC中兩銳角互余，等量代換可得出∠B與∠ODB互余，即OD垂直于BD，確定出AB為圓O的切線，得證；
（2）過(guò)O作OM垂直于CD，根據(jù)垂徑定理得到M為DC的中點(diǎn)，由BD垂直于OD，得到三角形BDO為直角三角形，再由BE=OE=OD，得到OD等于OB的一半，可得出∠B=30°，進(jìn)而確定出∠DOB=60°，又OD=OC，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由∠DOB為三角形DOC的外角，利用外角的性質(zhì)及等量代換可得出∠DCB=30°，在三角形CMO中，根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得到OC=2OM，由弦心距OM的長(zhǎng)求出OC的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出OD及OB的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出BD的長(zhǎng)

解答 （1）證明：連接OD，如圖所示：
∵OD=OC，
∴∠DCB=∠ODC，
又∠DOB為△COD的外角，
∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，
又∵∠A=2∠DCB，
∴∠A=∠DOB，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠DOB+∠B=90°，
∴∠BDO=90°，
∴OD⊥AB，
又∵D在⊙O上，
∴AB是⊙O的切線；
（2）過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CD于點(diǎn)M，
∵OD=OE=BE=$\frac{1}{2}$BO，∠BDO=90°，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=60°，
∵OD=OC，
∴∠DCB=∠ODC，
又∵∠DOB為△ODC的外角，
∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，
∴∠DCB=30°，
∵在Rt△OCM中，∠DCB=30°，CM=$\frac{1}{2}$CD=$\sqrt{3}$，
∴OC=2，
∴OD=2，BO=BE+OE=2OE=4，
∴在Rt△BDO中，根據(jù)勾股定理得：BD=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，含30°直角三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，三角形的外角性質(zhì)，以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．