Question

平面上任意五個(gè)點(diǎn)都落在格點(diǎn)上，試證明至少有二個(gè)點(diǎn)連線的中點(diǎn)也在格點(diǎn)上．

Answer 1

【答案】分析：首先根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式知，坐標(biāo)平面兩點(diǎn)（x₁，y₁）、（x₂，y₂）的中點(diǎn)坐標(biāo)是（，），再證明x₁與x₂，y₁與y₂的奇偶性相同，根據(jù)坐標(biāo)的奇偶性構(gòu)造四個(gè)“抽屜”進(jìn)行證明．
解答：證明：由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知，坐標(biāo)平面兩點(diǎn)（x₁，y₁）、（x₂，y₂）的中點(diǎn)坐標(biāo)是（，）．
欲使和都是整數(shù)，必須而且只須x₁與x₂，y₁與y₂的奇偶性相同．
平面上格點(diǎn)的坐標(biāo)是以下四種情況：（奇數(shù)，奇數(shù)），（奇數(shù)，偶數(shù)），（偶數(shù)，偶數(shù)），
（偶數(shù)，奇數(shù)）由于五個(gè)點(diǎn)都落在格點(diǎn)上，肯定有二個(gè)格點(diǎn)的坐標(biāo)情況相同，
根據(jù)整數(shù)的奇偶性質(zhì)，則他們連線的中點(diǎn)坐標(biāo)也一定是以上四種情況之一．
故至少有二個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)的連線也在格點(diǎn)上．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了抽屜原理的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是對(duì)坐標(biāo)平面上的任意格點(diǎn)按照橫縱兩個(gè)坐標(biāo)的奇偶性考慮構(gòu)造四個(gè)“抽屜”，充分利用好抽屜原理的知識(shí)點(diǎn)，本題難度較大．