Question

（2008•自貢）如圖，A、B為⊙O上的點，AC是弦，CD是⊙O的切線，C為切點，AD⊥CD于點D，若AC為∠BAD的平分線．
求證：（1）AB為⊙O的直徑；（2）AC²=AB•AD．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明AB是直徑，只需連接BC，證明∠ACB=90°，根據(jù)弦切角定理和角平分線的定義發(fā)現(xiàn)三角形ABC和三角形ACD中的兩個角對應相等，即可得到第三個角對應相等；
（2）根據(jù)（1）中的過程，顯然發(fā)現(xiàn)兩個三角形相似，根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等證明結論．
解答：證明：（1）連接BC，
AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB．
又CD切⊙O于點C，
∴∠ACD=∠B（弦切角定理）．
∵AD⊥CD，
∴∠ACD+∠DAC=90°．
即∠B+∠CAB=90°，∴∠BCA=90°．
∴AB是⊙O的直徑（90°圓周角所對弦是直徑）．

（2）∵∠ACD=∠B，∠DAC=∠CAB，
∴△ACD∽△ABC．
∴．
∴AC²=AB•AD．
點評：熟練運用弦切角定理和相似三角形的性質和判定．