Question

某校把一塊形狀為直角三角形的廢地開辟為生物園，如圖所示，∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米．
（1）若入口E在邊AB上，且與A、B等距離，求從入口E到出口C的最短路線的長；
（2）若線段CD是一條水渠，且D點(diǎn)在邊AB上，已知水渠的造價(jià)為10元/米，則D點(diǎn)在距A點(diǎn)多遠(yuǎn)處時(shí)，此水渠的造價(jià)最低，最低造價(jià)是多少？

Answer 1

分析：（1）由題意可知：E點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，則連接CE，CE是AB邊的中線，則根據(jù)直角三角形中中線是斜邊的一半；只要求得斜邊AB的長即可，根據(jù)勾股定理可以求得AB的長；
（2）根據(jù)從一點(diǎn)到一直線垂線段線段的距離最短可知：從C點(diǎn)向AB作垂線，則CD的造價(jià)最低；根據(jù)三角形相似可以求得CD的長，AD的長；最后可以求得水渠的造價(jià)．

解答：解：（1）過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，取AB的中點(diǎn)為E，連接CE，
根據(jù)勾股定理可知：AB=

AC2+BC2

=

802+602

=100，
由題意可知：E點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，
根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線是斜邊的一半，
則CE=

1

2

AB=

1

2

×100=50；

（2）由題意可知：從一點(diǎn)到一直線垂線段線段的距離最短，
則從C點(diǎn)向AB作垂線，則CD的造價(jià)最低；
∵△ACB是直角三角形，CD⊥AB，
∴△ADC∽△ACB，
則

AC

AB

=

CD

CB

=

AD

AC

，
即

80

100

=

CD

60

=

AD

80

，
可解得：AD=64，CD=48；
則最低造價(jià)=10×48=480元．
（可根據(jù)三角形面積相等解答

1

2

AB•CD=

1

2

AC•BC）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直角三角形的中線中線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用．