Question

已知：如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點A（3，0），B（O，

3

）．以線段AB為一邊作等邊△ABC，且點C在反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象上．
（1）求一次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）求m的值；
（3）O是原點，在線段OB的垂直平分線上是否存在一點P，使得△ABP的面積等于

1

2

m？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點A（3，0），B（O，

3

），利用待定系數(shù)法即可求得此一次函數(shù)的關(guān)系式；
（2）由以AB為一邊可以作兩個等邊△ABC，則頂點C有兩個，分別為C1、C₂，可設在第一象限的點C₁（p，q），過C₁作C₁⊥AB于E，易證得C₁A⊥x軸，則可求得C₁的坐標；由∠ABO=60°，OB=

1

2

AB，易得C₂（0，-

3

）也可使得△ABC是等邊三角形，繼而可求得m的值；
（3）由△ABP的面積等于

1

2

m，易得S_△ABC=S_△ABP；即可證得CP∥AB，即可求得直線CP的解析式，繼而可求得P點的坐標．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸、y軸分別交于點A（3，0），B（O，

3

），
∴

b= 3 3k+b=0

，
解得：

k=- 3 3 b= 3

，
故此一次函數(shù)的關(guān)系式為：y=-

3

3

x+

3

；

（2）以AB為一邊可以作兩個等邊△ABC，則頂點C有兩個，分別為C1、C₂，
設在第一象限的點C₁（p，q），過C₁作C₁⊥AB于E，
∵A（3，0），B（O，

3

），
∴OB=

3

，AB=

OA2+OB2

=2

3

，
∵△ABC₁是等邊三角形，
∴AC₁=2

3

，AE=

3

，
∴AB=AC₁，AE=OB，
∵在Rt△AOB和Rt△C₁EA中，

AB=AC1 OB=AE

，
∴Rt△AOB≌Rt△C₁EA（HL），
∴∠BAO=∠AC₁E=30°，
∴∠C₁AO=90°，
∴C₁A⊥x軸，
∴p=3，
過C₁作C₁F⊥y軸于F，
則四邊形OAC₁F是矩形，
∴OF=AC₁=2

3

，
∴q=2

3

，
∴C₁（3，2

3

）；
∵C₁點在y=

m

x

的圖象上，
∴m=6

3

；
又∵OB=

3

，∠OBA=60°，
∴C₂（0，-

3

），且C₂點不可能在雙曲線y=

m

x

的圖象上，
∴m值只有一個，即m=6

3

；

（3）存在．
理由：∵P在OB的垂直平分線上，
∴P在第一象限或第二象限，
∴P點有兩個，分別為P₁，P₂，
設在第一象限的點P₁（a₁，

3

2

），
根據(jù)題意，△ABP₁的面積為：

1

2

m=3

3

，
∵S_△ABC=

1

2

AB•CE=

1

2

×2

3

×3=3

3

，
∴S_△ABC=S_△ABP1，
設△ABP₁中AB邊上的高h，
由三角形的面積公式，當S_△ABC=S_△ABP1時，
則h=C₁E，
∴C₁P₁∥AB，
設經(jīng)過C₁P₁的直線的表達式為y₁=k₁x+b₁，
則k₁=k=-

3

3

，
∵C₁（3，2

3

），代入y₁=k₁x+b₁得：2

3

=-

3

3

×3+b₁，
解得：b₁=3

3

，
∴經(jīng)過C₁P₁的直線的表達式為y₁=-

3

3

x+3

3

，
點 P₁（a₁，

3

2

）在直線上C₁P₁上，
把點P₁（a₁，

3

2

）的坐標代入y₁=-

3

3

x+3

3

，
∴

3

2

=-

3

3

×a₁+3

3

，
∴a₁=

15

2

；
同理，設在第二象限的點P₂（a₂，

3

2

），
設經(jīng)過C₂P₂的直線的表達式為y₂=k₂x+b₂，
∵點C₂（0，-

3

）在直線y₂=k₂x+b₂上，
∴k2=k=-

3

3

，b₂=-

3

，
∴y₂=-

3

3

x-

3

，
∵P₂（a₂，

3

2

）在直線y₂=-

3

3

x-

3

上，
∴a₂=-

9

2

，
∴P₂（-

9

2

，

3

2

）；
∴符合要求的P點有兩個，分別為P₁（

15

2

，

3

2

），P₂（-

9

2

，

3

2

）．

點評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、等邊三角形的性質(zhì)以及三角形面積問題．此題綜合性強，難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用．