已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)G．
（1）求證：AE=DC；
（2）求證：四邊形EFDG是菱形．

（1）證明：∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，BC=2AD，
∴EC=BC=AD，
又∵AD∥BC，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
∴AE=DC；

（2）證明：連接DE，
∵E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，
∴EF∥BD，
∵四邊形AECD是平行四邊形，
∴AE∥DC，
∴四邊形EFDG是平行四邊形，
∵AD∥BE且AD=BE，
∴四邊形ABED是平行四邊形，
又∵∠ABE=90°，
∴平行四邊形ABED是矩形，
∴AE=BD，
∴GD=GE，
∴平行四邊形EFDG是菱形．
分析：（1）由點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，BC=2AD，易得EC=AD，則可得四邊形AECD是平行四邊形，即可得AE=DC；
（2）易證得四邊形EFDG是平行四邊形，即可得平行四邊形ABED是矩形，則可證得GD=DE，即可得平行四邊形EFDG是菱形．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在DC上，且AD=a，BC=b．
（1）如果點(diǎn)E、F分別為AB、DC的中點(diǎn)，如圖．求證：EF∥BC，且EF=
a+b
2
；
（2）如果
AE
EB
=
DF
EC
=
m
n
，如圖，判斷EF和BC是否平等，并用a、b、m、n的代數(shù)式表示EF．請(qǐng)證明你的結(jié)論．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E，F(xiàn)分別是AB和BC邊上的點(diǎn)．
（1）如圖①，以EF為對(duì)稱軸翻折梯形ABCD，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，且DF⊥BC．若AD=4，BC=8，求梯形ABCD的面積S梯形ABCD的值；
（2）如圖②，連接EF并延長與DC的延長線交于點(diǎn)G，如果FG=k•EF（k為正數(shù)），試猜想BE與CG有何數(shù)量關(guān)系寫出你的結(jié)論并證明之．
精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=5，點(diǎn)E在AB上，且AE：EB=2：3，過點(diǎn)E作EF∥BC交CD于F，求EF的長？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=3.5，sinB=
45
，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，BE=3，點(diǎn)P是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接EP，作∠EPF，使得∠EPF=∠B，射線PF與AD邊交于點(diǎn)F，與CD的延長線交于點(diǎn)G，設(shè)BP=x，DF=y．
（1）求BC的長；
（2）試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（3）連接EF，如果△PEF是等腰三角形，試求BP的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，點(diǎn)E、F分別是BC和DC的中點(diǎn)，連接AE、EF和BD，AE和BD相交于點(diǎn)G．
（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；
（2）求證：四邊形EFDG是菱形．

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