Question

（2009•青海）矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系中位置如圖所示，A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（6，0），C（0，-3），直線y=-x與BC邊相交于D點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若拋物線y=ax²-x經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，試確定此拋物線的表達(dá)式；
（3）設(shè)（2）中的拋物線的對(duì)稱軸與直線OD交于點(diǎn)M，點(diǎn)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，以P、O、M為頂點(diǎn)的三角形與△OCD相似，求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：前兩問(wèn)由拋物線性質(zhì)，用待定系數(shù)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)和拋物線的表達(dá)式；最后一問(wèn)找三角形相似，作輔助線過(guò)點(diǎn)O作OD的垂線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P₂，再根據(jù)相似三角形比例關(guān)系求出P點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵直線y=-x與BC邊相交于D點(diǎn)，知D點(diǎn)縱坐標(biāo)為-3，
∴代入直線得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，-3）．（2分）

（2）∵A（6，0）在拋物線上，代入拋物線的表達(dá)式得a=，
∴y=x²-x．（4分）

（3）拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)P₁符合條件．
∵OA∥CB，
∴∠P₁OM=∠CDO．
∵∠OP₁M=∠DCO=90°，
∴Rt△P₁OM∽R(shí)t△CDO．（6分）
∵拋物線的對(duì)稱軸x=3，
∴點(diǎn)P₁的坐標(biāo)為P₁（3，0）．（7分）
過(guò)點(diǎn)O作OD的垂線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)P₂．
∵對(duì)稱軸平行于y軸，
∴∠P₂MO=∠DOC．
∵∠P₂OM=∠DCO=90°，
∴Rt△P₂MO∽R(shí)t△DOC．（8分）
∴點(diǎn)P₂也符合條件，∠OP₂M=∠ODC．
∴P₁O=CO=3，∠P₂P₁O=∠DCO=90°，
∴Rt△P₂P₁O≌Rt△DCO．（9分）
∴P₁P₂=CD=4．
∵點(diǎn)P₂在第一象限，
∴點(diǎn)P₂的坐標(biāo)為P₂（3，4），
∴符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別是P₁（3，0），P₂（3，4）．（11分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查函數(shù)性質(zhì)與坐標(biāo)關(guān)系，最后一問(wèn)探究點(diǎn)的存在性問(wèn)題，幾何圖形形式問(wèn)題和直角三角形性質(zhì)．