如圖,在矩形ABCD中,AB=12,AD=10.點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)沿DA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng);點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng).伴隨P、Q的運(yùn)動(dòng),直線EF保持垂直平分PQ于點(diǎn)F,交射線DC于點(diǎn)E.點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q也隨之停止.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0),△APQ的面積為S.
(1)求S和t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)t為何值時(shí),直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)A?
(3)t為何值時(shí),EF∥AC?
(4)EF能平分矩形ABCD的面積嗎?如果能,請(qǐng)求出此時(shí)t的值,如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)當(dāng)時(shí)間為t時(shí),DQ=t,則AQ=10-t,AP=2t,由三角形的面積公式就可以表示出S和t之間的函數(shù)關(guān)系式,
(2)當(dāng)直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),根據(jù)中垂線的性質(zhì)建立等量關(guān)系,就可以求出其t值,
(3)根據(jù)條件由勾股定理可以求出PQ的值,利用△QGF∽△QPA可以求出GF的值,通過(guò)△QGF∽△ACB可以求出其t值.
(4)利用分得的兩部的面積相等找到邊相等,利用勾股定理表示出AG的值,由AG=PB建立等量關(guān)系求出其他值.
解答:解:(1)設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0)時(shí),
∴DQ=t,AP=2t,
∴AQ=10-t,
∴S==-t2+10t(6>t>0),

(2)當(dāng)直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),
∴AF是線段PQ的垂直平分線,
∴AQ=AP,
∴2t=10-t,
∴t=

(3)連接GP,
∵EF垂直平分PQ,
∴GP=GQ,設(shè)GQ=a,則GP=a,
∴GA=10-t-a,在Rt△APG中,由勾股定理得:
(2t)2+(10-t-a)2=a2,
∴a=,
在Rt△APQ中,由勾股定理,得
(10-t)2+(2t)2=PQ2,
∴PQ=
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
AC=,
∵GE∥AC,
∴△QGF∽△QPA,△QGF∽△ACB,
,,

∴GF=
,
解得t1=,t2=(不符合題意,應(yīng)舍去)

(4)如圖,連接GQ,在Rt△AGQ中,設(shè)AG=b,GP=QG=2t-b,AQ=10-t,
由勾股定理,得(2t-b)2=b2+(10-t)2
∴b==AG,
∵EF平分矩形的面積,
∴EF過(guò)矩形中心,即AG=EC,
又AD=BC,
∴S矩形ADHG=S矩形PECB
又∵AD=PE,
∴AD•AG=PE•PB,
∴AG=PB,
=12-2t,解得:
t1=,t2=-2(不符合題意,應(yīng)舍去)
點(diǎn)評(píng):本題考查了矩形的性質(zhì),中垂線的性質(zhì),面積公式的運(yùn)用,勾股定理的運(yùn)用.
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