Question

（1）猜想在銳角三角形ABC中，cosA+cosB+cosC與sinA+sinB+sinC的大小關(guān)系如何，并驗(yàn)證你的猜想；
（2）如圖所示，已知邊長是2a的正三角形ABC沿直線L滾動(dòng)，你能設(shè)法求出∠DAC+∠A₂AC的度數(shù)嗎？不妨試一試．

Answer 1

分析：（1）猜想：cosA+cosB+cosC＜sinA+sinB+sinC．代入具體的值進(jìn)行驗(yàn)證；
（2）圖形雖然復(fù)雜，但有規(guī)律可循，過點(diǎn)D作DE⊥L于點(diǎn)E，過點(diǎn)A₂作A₂F⊥L于點(diǎn)F，由于tan∠DAC=DE：AE，tan∠A₂AC=A₂F：AF，故可求得∠DAC與∠A₂AC的度數(shù)．

解答：解：（1）猜想：cosA+cosB+cosC＜sinA+sinB+sinC．
驗(yàn)證：如∠A=50°，∠B=60°，∠C=70°時(shí)，
cosA+cosB+cosC≈1.485，而sinA+sinB+sinC≈2.572，
故成立；

（2）過點(diǎn)D作DE⊥L于點(diǎn)E，過點(diǎn)A₂作A₂F⊥L于點(diǎn)F，
∴tan∠DAC=

DE

AE

=

3 a

5a

=

3

5

，tan∠A2AC=

A2F

AF

=

3 a

9a

=

3

9

．
∴∠DAC≈19.1°，∠A₂AC≈10.9°．
故∠DAC+∠A₂AC=19.1°+10.9°=30°．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了直角三角形中相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是把復(fù)雜的問題抽象到解直角三角形中．