Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點M（0，3）為圓心、5為半徑的圓與x軸交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C、D（點C在點D的上方），經(jīng)過B、C兩點的拋物線的頂點E在第二象限．

（1）求點A、B兩點的坐標(biāo)．

（2）當(dāng)拋物線的對稱軸與⊙M相切時, 求此時拋物線的解析式．

（3）連結(jié)AE、AC、CE，若．①求點E坐標(biāo)；②在直線BC上是否存在點P，使得以點B、M、

P為頂點的三角形和△ACE相似？若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）A（－4,0）；B（4,0）；（2）；（3）E；P．

【解析】

試題分析：（1）連接AM，根據(jù)題意得出AM=5，OM=3，則OA=0B=4，求出點坐標(biāo)；（2）設(shè)出函數(shù)解析式，根據(jù)題意得c=8，將點B的坐標(biāo)代入找出b和a的關(guān)系式，求出直線的對稱軸；根據(jù)切線的性質(zhì)得出對稱軸為x=－5，求出a和b的值；（3）根據(jù)∠ACO和∠CAE的正切值得出兩個角相等，根據(jù)點A在對稱軸上，則可得出對對稱軸為直線x=－4，求出a的值，然后求出頂點坐標(biāo)．

試題解析：（1）連結(jié)M A，由題意得：AM=5，OM=3，則OA=4，同理得OB=4，

∴點A、點B的坐標(biāo)分別是（-4，0）（4，0）

（2）設(shè)經(jīng)過B、C兩點的拋物線解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

∴c=8,0=16a+4b+8，∴b=-4a-2； 此時，y=ax2+（-4a-2）x+8（a≠0），

它的對稱軸是直線：x==；

又∵拋物線的頂點E在第二象限且該拋物線的對稱軸與⊙M相切，

則=-5，∴a=，b=，

∴拋物線的解析式為

（3）①在Rt△AOC中 tan∠ACO=，而tan∠CAE=

∴∠CAE=∠ACO，所以AE∥CO，即點A在拋物線的對稱軸上

又∵y=ax2+（-4a-2）x+8，∴，∴a=；∴

∴E

②在直線BC上存在點P，使得以點B、M、P為頂點的三角形和△ACE相似，點P的坐標(biāo)為

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)、圓的性質(zhì)．