Question

在一場(chǎng)籃球比賽中，一球星將球出手時(shí)，球離地面

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米，球的運(yùn)行軌跡為拋物線，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為4米時(shí)，球到達(dá)的最高點(diǎn)離地4米．
（1）建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使得球出手時(shí)的坐標(biāo)是（0，

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），球運(yùn)行的最高點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4），求出此坐標(biāo)系中球的運(yùn)行軌跡拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫取值范圍）；
（2）若球投入了離地面3米高的籃筐，請(qǐng)求籃筐離球星（坐標(biāo)原點(diǎn)）的水平距離；
（3）如圖，在籃球場(chǎng)地面以籃筐正下方點(diǎn)O為圓心一些同心的半圓弧，半圓弧上有一些投籃點(diǎn)，相鄰的半圓之間寬度1 米，最內(nèi)半圓弧的半徑為r 米，其上每0.2π米的弧長(zhǎng)上都是該球星投籃命中率較高的點(diǎn)（含半圓弧的兩端點(diǎn)），其它半圓上的命中率較高的點(diǎn)個(gè)數(shù)與最內(nèi)半圓弧上的個(gè)數(shù)相同，若該球星在（1）中投球站立的位置恰好在最外面的一個(gè)半圓弧上，求當(dāng)r為多少時(shí)，投籃的同心半圓弧中投籃命中率較高的點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多？

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式為y=a（x-4）²+4，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）令y=3，解關(guān)于x的一元二次方程，求出縱坐標(biāo)是3的點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到球星距離坐標(biāo)原點(diǎn)的水平距離為7米；
（3）根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出最內(nèi)半圓弧上的命中率較高的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再表示出到該球星所站的位置所在的最外面的弧線的條數(shù)，然后列式整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答即可．

解答：解：（1）∵最高點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4），
∴設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式為y=a（x-4）²+4，
∵球的出手點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

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），
∴16a+4=

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9

，
解得a=-

1

9

，
所以，函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

9

（x-4）²+4；

（2）當(dāng)y=3時(shí)，-

1

9

（x-4）²+4=3，
整理得，（x-4）²=9，
解得x₁=1，x₂=7，
∵球到達(dá)過最高點(diǎn)（4，4），
∴籃筐的坐標(biāo)為（7，3），
∴籃筐距離球星的水平距離為7米；

（3）∵每0.2π米的弧長(zhǎng)上都是該球星投籃命中率較高的點(diǎn)（含半圓弧的兩端點(diǎn)），
∴最內(nèi)半圓弧上的命中率較高的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：

πr

0.2π

+1=5r+1，
共有弧線條數(shù)為：7-r+1=8-r，
所以，投籃命中率較高的點(diǎn)的個(gè)數(shù)=（5r+1）（8-r）=-5r²+39r+8，
∵-

b

2a

=-

39

2×(-5)

=3.9，
∴半徑r=4米時(shí)，投籃命中率較高的點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多，
最大多的點(diǎn)數(shù)為：-5×4²+39×4+8=84．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，已知函數(shù)值求自變量的值的方法，二次函數(shù)的最值問題，（3）確定出最內(nèi)半圓弧上點(diǎn)的個(gè)數(shù)與弧線的條數(shù)是解題的關(guān)鍵，也是本題容易出錯(cuò)之處．