【題目】在△ABC中,AB=AC,∠A=60°,點D是BC邊的中點,作射線DE,與邊AB交于點E,射線DE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)120°,與直線AC交于點F.

(1)依題意將圖1補全;

(2)小華通過觀察、實驗提出猜想:在點E運動的過程中,始終有DE=DF.小華把這個猜想與同學們進行交流,通過討論,形成了證明該猜想的幾種想法:

想法1:由點D是BC邊的中點,通過構(gòu)造一邊的平行線,利用全等三角形,可證DE=DF;

想法2:利用等邊三角形的對稱性,作點E關(guān)于線段AD的對稱點P,由∠BAC與∠EDF互補,可得∠AED與∠AFD互補,由等角對等邊,可證DE=DF;

想法3:由等腰三角形三線合一,可得AD是∠BAC的角平分線,由角平分線定理,構(gòu)造點D到AB,AC的高,利用全等三角形,可證DE=DF…….

請你參考上面的想法,幫助小華證明DE=DF(選一種方法即可);

(3)在點E運動的過程中,直接寫出BE,CF,AB之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)將圖1補全見解析;

(2)證明見解析;

(3)數(shù)量關(guān)系:當點F在AC邊上時,

當點F在AC延長線上時,

【解析】試題分析:(1)根據(jù)要求畫出圖形即可;(2)選擇一種自己比較熟練的方法進行證明即可;(3)本題分點F在AC邊上,點F在AC延長線上,兩種情況分析即可.

試題解析:解:(1)如圖1,

(2)

想法1證明:如圖2,過D作DG∥AB,交AC于G,

∵點D是BC邊的中點,

∴DG=AB.

∴△CDG是等邊三角形.

∴∠EDB+∠EDG=120°.

∵∠FDG+∠EDG=120°,

∴∠EDB =∠FDG.

∵BD=DG,∠B=∠FGD=60°,

∴△BDE≌△GDF.

∴DE=DF.

想法2證明:如圖3,連接AD,

∵點D是BC邊的中點,

∴AD是△ABC的對稱軸.

作點E關(guān)于線段AD的對稱點P,點P在邊AC上,

∴△ADE≌△ADP.

∴DE=DP,∠AED=∠APD.

∵∠BAC+∠EDF=180°,

∴∠AED+∠AFD=180°.

∵∠APD+∠DPF=180°,

∴∠AFD=∠DPF.

∴DP=DF.

∴DE=DF.

想法3證明:如圖4,連接AD,過D作DM⊥AB于M,DN⊥AB于N,

∵點D是BC邊的中點,

∴AD平分∠BAC.

∵DM⊥AB于M,DN⊥AB于N,

∴DM=DN.

∵∠A=60°,

∴∠MDE+∠EDN=120°.

∵∠FDN+∠EDN=120°,

∴∠MDE=∠FDN.

∴Rt△MDE≌Rt△NDF.

∴DE=DF.

(3)當點F在AC邊上時, ;

當點F在AC延長線上時,

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