Question

13．如圖，在平面直角坐標系中，△CDE的頂點C坐標為（1，-2），點D的橫坐標為$\frac{19}{5}$，將△CDE繞點C旋轉到△CBO，點D的對應點B在x軸上，拋物線y=ax²+bx+c以點C為頂點，且經(jīng)過點B，它與x軸的另一個交點為點A．
（1）圖中，∠OCE=∠BCD；
（2）求拋物線的解析式；
（3）拋物線上是否存在點P，使S_△PAE=$\frac{1}{2}$S_△CDE？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由旋轉的性質，即可得∠OCE=∠BCD；
（2）首先過點C作CH⊥OE于H，易求得點E的坐標，然后設B（m，0），D（$\frac{19}{5}$，n），由CD=CB，可得方程（1-$\frac{19}{5}$）²+（-2-n）²=（1-m）²+2²，繼而求得m的值，再利用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式；
（3）首先由對稱性可求得點A的坐標，易得△CDE≌△CBO，然后由S_△CDE=S_△CBO=$\frac{1}{2}$•2•3=3，可設設P（t，$\frac{1}{2}$t²-t-$\frac{3}{2}$），即可得方程$\frac{1}{2}$•3•|$\frac{1}{2}$t²-t-$\frac{3}{2}$|=$\frac{1}{2}$•3，繼而求得答案．

解答 解：（1）∵△CDE繞點C旋轉到△CBO，
∴∠OCE=∠BCD；
故答案為BCD；

（2）過點C作CH⊥OE于H，如圖，
∵△CDE繞點C旋轉到△CBO，
∴CO=CE，CB=CD，OB=DE，
∴OH=HE=1，
∴OE=2，
∴E點坐標為（2，0），
設B（m，0），D（$\frac{19}{5}$，n），
∵CD²=（1-$\frac{19}{5}$）²+（-2-n）²，CB²=（1-m）²+2²，DE²=（2-$\frac{19}{5}$）²+n²，
∴（1-$\frac{19}{5}$）²+（-2-n）²=（1-m）²+2²，（2-$\frac{19}{5}$）²+n²=m²，
∴m=3，n=-$\frac{12}{5}$，
∴B（3，0），
設拋物線解析式為y=a（x-1）²-2，
把B（3，0）代入得4a-2=0，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-2，即y=$\frac{1}{2}$x²-x-$\frac{3}{2}$；

（3）存在．
∵A與點B關于直線x=1對稱，
∴A（-1，0），
∵△CDE繞點C旋轉到△CBO，
∴△CDE≌△CBO，
∴S_△CDE=S_△CBO=$\frac{1}{2}$•2•3=3，
設P（t，$\frac{1}{2}$t²-t-$\frac{3}{2}$），
∵S_△PAE=$\frac{1}{2}$S_△CDE，
∴$\frac{1}{2}$•3•|$\frac{1}{2}$t²-t-$\frac{3}{2}$|=$\frac{1}{2}$•3，
∴$\frac{1}{2}$t²-t-$\frac{3}{2}$=1或$\frac{1}{2}$t²-t-$\frac{3}{2}$=-1，
解方程$\frac{1}{2}$t²-t-$\frac{3}{2}$=1得t₁=1+$\sqrt{6}$，t₂=1-$\sqrt{6}$，此時P點坐標為（1+$\sqrt{6}$，1）或（1-$\sqrt{6}$，1）；
解方程$\frac{1}{2}$t²-t-$\frac{3}{2}$=-1得t₁=1+$\sqrt{2}$，t₂=1-$\sqrt{2}$，此時P點坐標為（1+$\sqrt{2}$，-1）或（1-$\sqrt{2}$，1）；
綜上所述，滿足條件的P點坐標為（1+$\sqrt{6}$，1）或（1-$\sqrt{6}$，1）或（1+$\sqrt{2}$，-1）或（1-$\sqrt{2}$，1）．

點評 此題屬于二次函數(shù)的綜合題．考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質和旋轉的性質等知識．注意會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質是關鍵．