Question

在正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M、N．如果∠MAN在如圖1所示的位置時(shí)，有BM+DN=MN成立（不必證明）．請(qǐng)問當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：MN=DN-BM．理由如下：
如圖2所示，在DN上截取DE=BM，連接AE；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABM=∠D=90°，AB=AD，
又∵DE=BM，
∴Rt△ABM≌Rt△ADE，
∴AM=AE，∠BAM=∠DAE；
∵∠MAN=45°，
∴∠DAE+∠BAN=∠MAB+∠BAN=∠MAN=45°，
∴∠EAN=90°-（∠DAE+∠BAN）=45°，又∠MAN=45°，
∴∠EAN=∠MAN=45°，
又∵AM=AE，AN=AN，
∴△AMN≌△AEN，得MN=EN，
∴DN=DE+EN=BM+MN，即MN=DN-BM．
分析：在DN上截取DE=BM，連接AE，然后通過兩步全等來求解；首先證△ADE≌△ABM，可得AE=AM，證△AMN≌△AEN，得到MN=NE，由此求得BM、DN、MN的數(shù)量關(guān)系．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，難度較大．