【題目】如圖,在ABC中,AB=AC,若將ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)180°,得到FEC

(1)猜想AE與BF有何關(guān)系,說明理由.

(2)若ABC的面積為3cm2,求四邊形ABFE的面積.

(3)當(dāng)ACB為多少度時,四邊形ABFE為矩形?

【答案】(1)AEBF,AE=BF(平行四邊形的對邊平行且相等);

(2)S四邊形ABFE=12cm2;

(3)當(dāng)ACB=60°時,四邊形ABFE為矩形.

析】

試題分析:(1)由ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)180°可知:AC=CF,BC=CE,四邊形ABFE為平行四邊形,于是得到結(jié)論;

(2)由于AC是ABE的BE邊上中線,于是得到S△ABE=2S△ABC=6,同理S△BEF=2S△CEF=6,即可得到結(jié)論;

(3)要判斷四邊形ABFE為矩形,從對角線來看,要求AF=BE,又AF與BE互相平分,只需要AC=BC,而AB=AC,故ABC為等邊三角形,ACB=60°.

試題解析:(1)AEBF,AE=BF.

理由是:∵△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)180°得到FEC,

∴△ABC≌△FEC,

AB=FE(全等三角形的對應(yīng)邊相等),

ABC=FEC(全等三角形的對應(yīng)角相等),

ABFE(內(nèi)錯角相等,兩直線平行),

四邊形ABFE為平行四邊形(一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形),

AEBF,AE=BF(平行四邊形的對邊平行且相等);

(2)由(1)得四邊形ABFE為平行四邊形,

AC=CF,BC=CE,

根據(jù)等底同高得到S△ABC=S△ACE=S△BCF=S△CEF=3,

S四邊形ABFE=4S△ABC=12cm2

(3)當(dāng)ACB=60°時,四邊形ABFE為矩形.

理由是:AB=AC,ACB=60°,

∴△ABC是等邊三角形,

BC=AC,BAC=60°,

∴∠ACE=120°.

又BC=CE,AC=CF,

∴∠EAC=CEA=30°,

∴∠BAE=90°,同理可證其余三個角也為直角.

四邊形ABFE為矩形.

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