Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一動點(diǎn)，過C作B點(diǎn)處切線的垂線，垂足為D，則下列結(jié)論中正確的有________．
①BC²=AB•CD；②sin∠ABC=cos∠BCD；③tan∠ABC=；④AC＞BD；⑤．

Answer 1

①③④⑤
分析：由BD為圓O的切線，得到AB與BD垂直，得到一對角互余，再由CD垂直于BD得到直角三角形BCD中兩銳角互余，利用同角的余角相等得到∠ABC=∠BCD，進(jìn)而得到sin∠ABC=sin∠BCD≠cos∠BCD，選項(xiàng)②錯誤；利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似得到三角形ABC與三角形CBD相似，由相似得比例，變形后得到①與⑤正確；在直角三角形BCD中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan∠BCD，即為tan∠ABC，得到選項(xiàng)③正確；C在運(yùn)動過程中，由斜邊大于直角邊得到AC大于BD，故選項(xiàng)④正確．
解答：∵BD為圓O的切線，
∴∠ABD=90°，即∠ABC+∠CBD=90°，
∵CD⊥BD，∴∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠ABC=∠BCD，
∴△ABC∽△CBD，
∴==，即BC²=AB•CD，故選項(xiàng)①正確；
∴sin∠ABC=sin∠BCD≠cos∠BCD，選項(xiàng)②錯誤；
由tan∠ABC=tan∠BCD=，選項(xiàng)③正確；
而無論C如何移動均有AC＞BC，選項(xiàng)④正確；
由相似關(guān)系得=，故選項(xiàng)⑤正確．
故答案為：①③④⑤
點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．