Question

（2009•畢節(jié)地區(qū)）如圖，已知?ABCD的面積是S，依次連接?ABCD各邊中點構(gòu)成第二個平行四邊形?EFGH，再依次連接第二個平行四邊形各邊中點構(gòu)成第三個平行四邊形，…以此類推，則第2009個平行四邊形的面積為（　　）

• A．

  1

  22007

  S
• B．

  1

  22008

  S
• C．

  1

  22009

  S
• D．無法確定

Answer 1

分析：連接EG，HF，相交于點O，有平行四邊形的判定方法和平行四邊形的性質(zhì)：被對角線分的兩個三角形的面積相等，可得新生成的平行四邊形和前一個四邊形的面積之間的關(guān)系，得出規(guī)律，按此規(guī)律即可求出第2009個平行四邊形的面積．

解答：解：連接EG，HF，相交于點O，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵H和F為中點，
∴AH=BF，
∴四邊形ABFH為平行四邊形，
∴AE∥HO，
同理可證：EO∥AH，
∴四邊形AEOH是平行四邊形，
∵EH是對角線，
∴S_△AEH=S_△EOH=

1

2

S_AEOH，
同理可得：S_△EOF=S_△BEF=

1

2

S_{四邊形EBFO}，S_△CFG=S_△FOG=

1

2

S_{四邊形FOGC}，S_△DHG=S_△HOG=

1

2

S_{四邊形HOGD}，
∴四邊形EFGH的面積=

1

2

四邊形ABCD的面積即為

1

2

S，
∴第三個平行四邊形的面積為

1

2

×

1

2

S=

1

4

S
以此類推，可知每一個新生成的平行四邊形都為前一個平行四邊形面積的

1

2

，
∴第2009個平行四邊形的面積=

1

22008

S．
故選B．

點評：本題考查了平行四邊形的判定和平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求出第2009個平行四邊形的面積．