Question

已知線段AC與BD相交于點O，聯(lián)結AB、DC，E為OB的中點，F(xiàn)為OC的中點，連接EF．
（1）添加條件∠A=∠D，OE=OF，試說明：AB=DC．
（2）分別將“∠A=∠D”記為①，“OE=OF”記為②，“AB=DC”記為③．若以①、③為條件，以②為結論構成命題1；若以②、③為條件，以①為結論構成命題2．則命題1是

真

命題，命題2是

假

命題（填入“真”或“假”）．

Answer 1

分析：（1）先求出OB=OC，再利用“角角邊”證明△AOB和△DOC全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可；
（2）命題1，利用“角角邊”證明△AOB和△DOC全等，再根據(jù)全等三角形對應邊相等得到OB=OC，然后根據(jù)線段中點的定義證明；命題2，符合“邊邊角”，不能證明△AOB和△DOC全等．

解答：（1）證明：∵E為OB的中點，F(xiàn)為OC的中點，
∴OB=2OE，OC=2OF，
∵OE=OF，
∴OB=OC，
在△AOB和△DOC中，

∠A=∠D ∠AOB=∠DOC OB=OC

，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴AB=DC；

（2）解：命題1，在△AOB和△DOC中，

∠A=∠D ∠AOB=∠DOC AB=DC

，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OB=OC，
∵E為OB的中點，F(xiàn)為OC的中點，
∴OB=2OE，OC=2OF，
∴OE=OF，故命題1是真命題；
命題2，以②OE=OF、③AB=DC為條件，△AOB和△DOC符合“邊邊角”，不能證明全等，
所以，以①∠A=∠D為結論命題不成立，是假命題．
故答案為：真，假．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，真、假命題的判斷，熟記三角形全等的判定方法是解題的關鍵，要注意“邊邊角”不能證明三角形全等．