Question

14．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+3交x軸于A、B兩點(diǎn)（A在B左邊），交y軸于C點(diǎn)，且OC=3OA，對(duì)稱軸x=1交拋物線于D點(diǎn)．
（1）求拋物線解析式；
（2）求證：△BCD為直角三角形；
（3）在x軸上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)M，過(guò)M作MN⊥x軸于N點(diǎn)，使△BMN與△BCD相似？若存在，請(qǐng)求出M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）將x=0代入可求得y=3，故此可知C（0，3），OC=3，OA=1，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），由點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x=1對(duì)稱可知B（3，0），將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，從而求得a=-1，b=2；
（2）先利用配方法求出拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式得出CD²+BC²=BD²，由勾股定理的逆定理即可證明△BCD為直角三角形；
（3）由（2）知，CD=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$．設(shè)M（x，-x²+2x+3），則MN=-x²+2x+3，BN=3-x，由于∠MNB=∠BCD=90°，所以當(dāng)△BMN與△BCD相似時(shí)，分兩種情況：①△BMN∽△BDC；②△BMN∽△DBC．然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出關(guān)于x的方程，從而求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵將x=0代入y=ax²+bx+3，得y=3，
∴C（0，3）．
∵OC=3OA，
∴OA=1，
∴A（-1，0）．
∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x=1對(duì)稱，
∴B（3，0）．
將A（-1，0），B（3，0）代入y=ax²+bx+3得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3；

（2）∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）．
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，3），
∴CD²=（1-0）²+（4-3）²=2，
 BC²=（3-0）²+（0-3）²=18，
BD²=（1-3）²+（4-0）²=20，
∴CD²+BC²=BD²，
∴△BCD為直角三角形；

（3）由（2）知，CD=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$．
設(shè)在x軸上方的拋物線上存在點(diǎn)M（x，-x²+2x+3），則-1＜x＜3，-x²+2x+3＞0，
∵M(jìn)N⊥x軸于N點(diǎn)，
∴N（x，0），∠MNB=90°，
∴BN=3-x，MN=-x²+2x+3．
∵Rt△BCD中，∠BCD=90°，
∴∠MNB=∠BCD=90°，
∴當(dāng)△BMN與△BCD相似時(shí)，分兩種情況：
①如果△BMN∽△BDC，那么$\frac{MN}{CD}$=$\frac{BN}{BC}$，
即$\frac{-{x}^{2}+2x+3}{\sqrt{2}}$=$\frac{3-x}{3\sqrt{2}}$，
解得x₁=3，x₂=-$\frac{2}{3}$，
又∵-1＜x＜3，
∴x=-$\frac{2}{3}$，
∴-x²+2x+3=$\frac{11}{9}$，
∴M（-$\frac{2}{3}$，$\frac{11}{9}$）；
②如果△BMN∽△DBC，那么$\frac{MN}{BC}$=$\frac{BN}{CD}$，
即$\frac{-{x}^{2}+2x+3}{3\sqrt{2}}$=$\frac{3-x}{\sqrt{2}}$，
解得x₁=2，x₂=3，
又∵-1＜x＜3，
∴x=2，
∴-x²+2x+3=3，
∴M（2，3）．
綜上所述，M點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{2}{3}$，$\frac{11}{9}$）或（2，3）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式、勾股定理的逆定理、相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，利用分類討論、數(shù)形結(jié)合與方程思想是解題的關(guān)鍵．