Question

某健身器材銷售公司通過當(dāng)?shù)亍凹t十字會(huì)”向偏遠(yuǎn)山區(qū)孩子提供免費(fèi)的“愛心早餐”，捐出了五月份全部銷售利潤．已知該公司五月份只售出甲、乙、丙三種型號(hào)器材若干臺(tái)，每種型號(hào)器材不少于8臺(tái)，五月份支出包括這三種器材進(jìn)貨款64萬元和其他各項(xiàng)支出（含人員工資和雜項(xiàng)開支）3.8萬元，這三種器材的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表，人員工資y₁（萬元）和雜項(xiàng)支出y₂（萬元）分別與總銷售量（臺(tái)）成一次函數(shù)關(guān)系如圖．

型號(hào)	甲	乙	丙
進(jìn)價(jià)（萬元/臺(tái)）	0.9	1.2	1.1
售價(jià)（萬元/臺(tái)）	1.2	1.6	1.3

（1）求y₁ 與x的函數(shù)解析式；
（2）求五月份該公司的總銷售量；
（3）設(shè)公司五月份售出甲種型號(hào)器材t臺(tái)，乙種型號(hào)器材m臺(tái)，求m與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（4）設(shè)公司五月份售出甲種型號(hào)器材t臺(tái)，五月份總銷售利潤W（萬元），求W與t的函數(shù)關(guān)系式（銷售利潤=銷售額-進(jìn)價(jià)-其它各項(xiàng)支出）；
（5）請(qǐng)推測(cè)該公司這次向偏遠(yuǎn)山區(qū)捐款金額的最大值．

Answer 1

分析：（1）如圖可知，y₁與x之間的一次函數(shù)關(guān)系式，設(shè)出一次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法可求出；
（2）依題意可解得y₁，y₂與x的等式關(guān)系y₁+y₂=0.05x+0.2+0.005x+0.3=3.8，再解方程即可；
（3）五月份售出甲種型號(hào)器材t臺(tái)，乙種型號(hào)器材m臺(tái)，則售出丙種型號(hào)器材（60-t-m）臺(tái)，再根據(jù)進(jìn)貨款64萬元，可列出等式0.9t+1.2m+1.1（60-t-m）=64，整理可寫出m與t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）根據(jù)銷售利潤=銷售額-進(jìn)價(jià)-其它各項(xiàng)支出可直接寫出關(guān)系式；
（5）根據(jù)（4）可知w隨t的增大而增大，根據(jù)此可解．

解答：解：（1）設(shè)y₁與x的函數(shù)解析式是y₁=kx+b（k＞0），
根據(jù)題意得到

b=0.2 20k+b=1.2

，
解得：

k=0.05 b=0.2

，
∴y₁與x的關(guān)系式為y₁=0.05x+0.2；

（2）依題意得：y₁+y₂=0.05x+0.2+0.005x+0.3=3.8，
解得：x=60，
∴五月份該公司的總銷售量為60臺(tái)；

（3）五月份售出甲種型號(hào)器材t臺(tái)，乙種型號(hào)器材m臺(tái)，則售出丙種型號(hào)器材（60-t-m）臺(tái)．
則0.9t+1.2m+1.1（60-t-m）=64
解得m=2t-20，
依題意有

t≥8 2t-20≥8 60-t-2t+20≥8

，
解得14≤t≤24，
t的取值范圍是：14≤t≤24；

（4）w=1.2t+1.6（2t-20）+1.3（60-t-2t+20）-64-3.8，
即w與t的函數(shù)關(guān)系式為：w=0.5t+4.2；

（5）∵14≤t≤24，
又∵t為正整數(shù)，
∴t最大為24，
∵w是關(guān)于t的一次函數(shù)，由（3）可知，w隨t的增大而增大．
∴當(dāng)t=24（臺(tái)）時(shí)，w最大=0.5×24+4.2=16.2（萬元）
∴該公司這次向?yàn)?zāi)區(qū)捐款金額的最大值為16.2萬元．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，難度較大，是函數(shù)與不等式的綜合題，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語，進(jìn)而找到所求的量的等量關(guān)系．