Question

如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF=BD，連接BF．
（1）求證：BD=CD；
（2）如果AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）先由AF∥BC，利用平行線的性質可證∠AFE=∠DCE，而E是AD中點，那么AE=DE，∠AEF=∠DEC，利用AAS可證△AEF≌△DEC，那么有AF=DC，又AF=BD，從而有BD=CD；
（2）四邊形AFBD是矩形．由于AF平行等于BD，易得四邊形AFBD是平行四邊形，又AB=AC，BD=CD，利用等腰三角形三線合一定理，可知AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可證四邊形AFBD是矩形．

解答：證明：
（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中點，
∴AE=DE，

∠AFE=∠DCE AE=DE ∠AEF=∠DEC

，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=DC，
∵AF=BD，
∴BD=CD；

（2）四邊形AFBD是矩形．
理由：
∵AB=AC，D是BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°
∵AF=BD，
∵過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，即AF∥BC，
∴四邊形AFBD是平行四邊形，
又∵∠ADB=90°，
∴四邊形AFBD是矩形．

點評：本題利用了平行線的性質、全等三角形的判定和性質、等量代換、平行四邊形的判定、等腰三角形三線合一定理、矩形的判定等知識．