Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）．
（1）求拋物線的對稱軸及線段AB的長；
（2）拋物線的頂點為P，若∠APB=120°，求頂點P的坐標及a的值；
（3）若在拋物線上存在一點N，使得∠ANB=90°，結合圖象，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：令y=0得：ax2+2ax﹣3a=0，即a（x+3）（x﹣1）=0，解得：x=﹣3或x=1，

∴A（﹣3，0）、B（1，0）．

∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，AB=4

（2）

解：如圖1所示：

設拋物線的對稱軸與x軸交于點H．

∵∠APB=120°，AB=4，PH在對稱軸上，

∴AH=2，∠APB=60°．

∴PH= ．

∴點P的坐標為（﹣1，﹣ ）．

將點P的坐標代入得：﹣ =﹣4a，解得a=

（3）

解：如圖2所示：以AB為直徑作⊙H．

∵當∠ANB=90°，

∴點N在⊙H上．

∵點N在拋物線上，

∴點N為拋物線與⊙H的交點．

∴點P在圓上或點P在圓外．

∴HP≥2．

∵將x=﹣1代入得：y=﹣4a．

∴HP=4a．

∴4a≥2，解得a≥ ．

∴a的取值范圍是a≥

【解析】（1）令y=0得：ax2+2ax﹣3a=0，解關于x的方程可求得點A和點B的橫坐標，然后可求得AB的長，利用拋物線的對稱性可得到拋物線的對稱軸方程；（2）如圖1所示，利用拋物線的對稱性可知：AH=2，∠APB=60°，然后可求得PH= ，從而可的點P的坐標，最后將點P的坐標代入拋物線的解析式可求得a的值；（3）以AB為直徑作⊙H，則點N在⊙H上，當點P在⊙H上或點P在⊙H外時，∠ANB=90°，故此HP≥2，接下來，依據(jù)HP≥2列不等式求解即可．
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質和拋物線與坐標軸的交點的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減��；一元二次方程的解是其對應的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．才能正確解答此題．