Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4，E、F分別是BC，CD上不與C重合的點，且△ECF為等腰三角形，設(shè)△AEF的面積為y，EC的長為x．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當x取何值時，y取得最大值？最大值是多少？

Answer 1

解：（1）∵△ECF為等腰三角形，
∴FC=EC=x，
∴DF=4-x，BE=4-x，
S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ECF-S_△ADF-S_△ABE，
=4²-x²-×4（4-x）-×4（4-x），
=16-x²-8+2x-8+2x，
=-x²+4x；
∵0＜EC≤CD，
∴0＜x≤4，
∴y=-x²+4x（0＜x≤4）；

（2）∵y=-x²+4x=-（x²-8x+16）+8=-（x-4）²+8，
∴x=4時，y有最大值，為8．
分析：（1）根據(jù)等腰三角形求出FC=EC=x，然后表示出DF、BE，再根據(jù)S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ECF-S_△ADF-S_△ABE，然后列式整理即可得解；
（2）利用二次函數(shù)的最值問題解答．
點評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，讀懂題目信息，觀察出△AEF的面積表示是解題的關(guān)鍵．