如圖,拋物線與
軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C,且當(dāng)
=O和
=4時,y的值相等。直線y=4x-16與這條拋物線相交于兩點(diǎn),其中一點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3,另一點(diǎn)是這條拋物線的頂點(diǎn)M。
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)P為線段OM上一點(diǎn),過點(diǎn)P作PQ⊥軸于點(diǎn)Q。若點(diǎn)P在線段OM上運(yùn)動(點(diǎn)P不與點(diǎn)O重合,但可以與點(diǎn)M重合),設(shè)OQ的長為t,四邊形PQCO的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍;
(3)隨著點(diǎn)P的運(yùn)動,四邊形PQCO的面積S有最大值嗎?如果S有最大值,請求出S的最大值并指出點(diǎn)Q的具體位置和四邊形PQCO的特殊形狀;如果S沒有最大值,請簡要說明理由;
(4)隨著點(diǎn)P的運(yùn)動,是否存在t的某個值,能滿足PO=OC?如果存在,請求出t的值。
(1)(2)S=2t2+4t,
<
≤
(3)點(diǎn)
在線段
的中點(diǎn)上,16,平行四邊形(4)
【解析】解:(1)∵當(dāng)和
時,
的值相等,∴
,……1分
∴,∴
將代入
,得
,
將代入
,得
………………………………………….2分
∴設(shè)拋物線的解析式為
將點(diǎn)代入,得
,解得
.
∴拋物線,即
……………………………..3分
(2)設(shè)直線OM的解析式為,將點(diǎn)M
代入,得
,
∴……………………………………………………………………..4分
則點(diǎn)P,
,而
,
.
=
.......................5分
的取值范圍為:
<
≤
.......................................6分
(1)隨著點(diǎn)的運(yùn)動,四邊形
的面積
有最大值.
從圖像可看出,隨著點(diǎn)由
→
運(yùn)動,
的面積與
的面積在不斷增大,即
不斷變大,顯當(dāng)然點(diǎn)
運(yùn)動到點(diǎn)
時,
有最值...............7分
此時時,點(diǎn)
在線段
的中點(diǎn)上............. ................8分
因而.
當(dāng)時,
,
∥
,∴四邊形
是平行四邊形. ..9分
(4)隨著點(diǎn)的運(yùn)動,存在
,能滿足
.................10分
設(shè)點(diǎn),
,
. 由勾股定理,得
.
∵,∴
,
<
,
(不合題意)
∴當(dāng)時,
...................................11分
(1)x=O和x=4時,y的值相等,即可得到函數(shù)的對稱軸是x=2,把x=2和x=3分別代入直線y=4x-16就可以求出拋物線上的兩個點(diǎn)的坐標(biāo),并且其中一點(diǎn)是頂點(diǎn),利用待定系數(shù)法,設(shè)出函數(shù)的頂點(diǎn)式一般形式,就可以求出函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)待定系數(shù)法可以求出直線OM的解析式,設(shè)OQ的長為t,即P,Q的橫坐標(biāo)是t,把x=t代入直線OM的解析式,就可以求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo),得到PQ的長,四邊形PQCO的面積S=S△COQ+S△OPQ,很據(jù)三角形的面積公式就可以得到函數(shù)解析式;
(3)從圖象可看出,隨著點(diǎn)P由O→M運(yùn)動,△COQ的面積與△OPQ的面積在不斷增大,即S不斷變大,顯當(dāng)然點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)M時,S最值;
(4)在直角△OPQ中,根據(jù)勾股定理就可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,拋物線與軸交于
(
,0)、
(
,0)兩點(diǎn),且
,與
軸交于點(diǎn)
,其中
是方程
的兩個根。(14分)
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)
是線段
上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)
作
∥
,交
于點(diǎn)
,連接
,當(dāng)
的面積最大時,求點(diǎn)
的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)在(1)中拋物線上,
點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn),在
軸上是
否存在點(diǎn),使以
為頂
點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,如果存在,
求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo),
若不存在,請說明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,拋物線與
軸交于
兩點(diǎn),與
軸相交于點(diǎn)
.連結(jié)AC、BC,B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為B(1,0)、
,且當(dāng)x=-10和x=8時函數(shù)的值
相等.
1.求a、b、c的值;
2.若點(diǎn)同時從
點(diǎn)出發(fā),均以每秒1個單位長度的速度分別沿
邊運(yùn)動,其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時,另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.連結(jié)
,將
沿
翻折,當(dāng)運(yùn)動時間為幾秒時,
點(diǎn)恰好落在
邊上的
處?并求點(diǎn)
的坐標(biāo)及四邊形
的面積;
3.上下平移該拋物線得到新的拋物線,設(shè)新拋物線的頂點(diǎn)為D,對稱軸與x軸的交點(diǎn)為E,若△ODE與△OBC相似,求新拋物線的解析式。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
如圖,拋物線與
軸交于A、B兩點(diǎn),與
軸交于C點(diǎn),四邊形OBHC為矩形,CH的延長
線交拋物線于點(diǎn)D(5,2),連結(jié)BC、AD.
(1)求C點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式;
(2)將△BCH繞點(diǎn)B按順時針旋轉(zhuǎn)90º后再沿軸對折得到△BEF(點(diǎn)C與點(diǎn)E對應(yīng)),判斷點(diǎn)E是否落在拋物線上,并說明理由;
(3)設(shè)過點(diǎn)E的直線交AB邊于點(diǎn)P,交CD邊于點(diǎn)Q. 問是否存在點(diǎn)P,使直線PQ分梯形ABCD的面積為1∶3兩部分?若存在,求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2013屆四川省鹽邊縣紅格中學(xué)九年級下學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)試卷(帶解析) 題型:解答題
如圖,拋物線與
軸交于
兩點(diǎn),與
軸交于
點(diǎn).
(1)請求出拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)(用含
的代數(shù)式表示),
兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)經(jīng)探究可知,與
的面積比不變,試求出這個比值;
(3)是否存在使為直角三角形的拋物線?若存在,請求出;如果不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2012屆仙師中學(xué)九年級第一次月考試考試數(shù)學(xué)卷 題型:選擇題
如圖,拋物線與軸交于
(
,0)、
(
,0)兩點(diǎn),且
,與
軸交于點(diǎn)
,其中
是方程
的兩個根。(14分)
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)
是線段
上的一個動點(diǎn),過點(diǎn)
作
∥
,交
于點(diǎn)
,連接
,當(dāng)
的面積最大時,求點(diǎn)
的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)在(1)中拋物線上,
點(diǎn)為拋物線上一動點(diǎn),在
軸上是
否存在點(diǎn),使以
為頂
點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,如果存在,
求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo),
若不存在,請說明理由。
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