Question

已知：如圖，BD是半圓O的直徑，A是BD延長線上的一點，BC⊥AE，交AE的延長線于點C，交半圓O于點E，且E為的中點．
（1）求證：AC是半圓O的切線；
（2）若AD=6，AE=6，求BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證AC是⊙O的切線，只要連接OE，再證DE⊥AC即可．
（2）根據勾股定理和相似三角形的性質即可求出BC的長．
解答：（1）證明：連接OE．
∵E為的中點，
∴=．
∴∠OBE=∠CBE
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE
∴∠OEB=∠CBE
∴OE∥BC
∵BC⊥AC，∴∠C=90°
∴∠AEO=∠C=90°，即OE⊥AC
又∵OE為半圓O的半徑，
∴AC是半圓O的切線．（2分）

（2）解：設半圓O的半徑為x
∵OE⊥AC，
∴（x+6）²-（6）²=x²
∴x=3（3分）
∴AB=AD+OD+OB=12
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ABC（4分）
∴=
即=
∴BC=4．（5分）
點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．同時考查了勾股定理和相似三角形的性質．