【題目】如圖,邊長為1的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O.有直角∠MPN,使直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合,直角邊PM、PN分別與OA、OB重合,然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠MPN,旋轉(zhuǎn)角為θ(0°<θ<90°),PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點(diǎn),連接EF交OB于點(diǎn)G,則下列結(jié)論中正確的是 .
(1)EF=OE;(2)S四邊形OEBF:S正方形ABCD=1:4;(3)BE+BF=OA;(4)在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí),AE=;(5)OGBD=AE2+CF2.
【答案】(1),(2),(3),(5).
【解析】
試題分析:(1)∵四邊形ABCD是正方形,
∴OB=OC,∠OBE=∠OCF=45°,∠BOC=90°,
∴∠BOF+∠COF=90°,
∵∠EOF=90°,
∴∠BOF+∠COE=90°,
∴∠BOE=∠COF,
在△BOE和△COF中,
,
∴△BOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF,BE=CF,
∴EF=OE;故正確;
(2)∵S四邊形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD,
∴S四邊形OEBF:S正方形ABCD=1:4;故正確;
(3)∴BE+BF=BF+CF=BC=OA;故正確;
(4)過點(diǎn)O作OH⊥BC,
∵BC=1,
∴OH=BC=,
設(shè)AE=x,則BE=CF=1﹣x,BF=x,
∴S△BEF+S△COF=BEBF+CFOH=x(1﹣x)+(1﹣x)×=﹣(x﹣)2+,
∵a=﹣<0,
∴當(dāng)x=時(shí),S△BEF+S△COF最大;
即在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí),AE=;故錯誤;
(5)∵∠EOG=∠BOE,∠OEG=∠OBE=45°,
∴△OEG∽△OBE,
∴OE:OB=OG:OE,
∴OGOB=OE2,
∵OB=BD,OE=EF,
∴OGBD=EF2,
∵在△BEF中,EF2=BE2+BF2,
∴EF2=AE2+CF2,
∴OGBD=AE2+CF2.故正確.
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(1)若P點(diǎn)在AB兩點(diǎn)之間運(yùn)動,試探究:當(dāng)∠1、∠2和∠3之間滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí),a∥b?
(2)若P點(diǎn)在AB兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動,試探究:當(dāng)∠1、∠2和∠3之間滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí),a∥b?(直接寫出結(jié)論即可)
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【題目】如圖,已知□ABCD的對角線AC , BD交于點(diǎn)O , E , F分別是OA , OC的中點(diǎn).
(1)求證:OE=OF;
(2)求證:DE∥BF .
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【題目】已知⊙O的直徑CD=10cm,AB是⊙O的弦,AB⊥CD,垂足為M,且AB=8cm,則AC的長為( )
A. B. C. 或 D. 或
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