Question

下圖是一紙杯，它的母線AC和EF延長后形成的立體圖形是圓錐．該圓錐的側(cè)面展開圖形是扇形OAB．經(jīng)測量，紙杯上開口圓的直徑為6cm，下底面直徑為4cm，母線長EF=8cm．求扇形OAB的圓心角及這個紙杯的表面積．（面積計算結(jié)果用π表示）．

Answer 1

分析：（1）設(shè)∠AOB=n°，AO=R，則CO=R-8，利用圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系列方程，并聯(lián)立成方程組求解即可；
（2）求紙杯的側(cè)面積即為扇環(huán)的面積，需要用大扇形的面積減去小扇形的面積．紙杯表面積=S_{紙杯側(cè)面積}+S_{紙杯底面積}．

解答：解：由題意可知：

BA

=6π，

CD

=4π，設(shè)∠AOB=n，AO=R，則CO=R-8，
由弧長公式得：

nπR

180

=6π，

nπ(R-8)

180

=4π，
∴

6×180=nR 4×180=nR-8n

，
解得：n=45，R=24，
故扇形OAB的圓心角是45度．
∵R=24，R-8=16，
∴S_扇形OCD=

1

2

×4π×16=32π（cm²），
S_扇形OAB=

1

2

×6π×24=72π（cm²），
紙杯側(cè)面積=S_扇形OAB-S_扇形OCD=72π-32π=40π（cm²），
紙杯底面積=π•2²=4π（cm²）
紙杯表面積=40π+4π=44π（cm²）．

點評：主要考查圓錐的側(cè)面展開圖與底面周長之間的關(guān)系和扇環(huán)的面積的求法．
本題中（1）就是把的扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系，列方程求解；
（2）扇環(huán)的面積等于大扇形的面積減去小扇形的面積．