Question

如圖，已知：直線y=-2x+b與雙曲線y=

k

x

，其中k＞0、且k≠2，相交于第一象限兩點(diǎn)P（1，k），Q（

b-2

2

，m）
（1）求m的值；
（2）過(guò)P，Q分別作坐標(biāo)軸的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)B．垂足為點(diǎn)A和C，是否存在這樣的k值．使得△OPQ的面積等于△BPQ的兩倍？若存在，求出k值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1））先根據(jù)P（1，k）在直線y=-2x+b上，得出k=-2b，再根據(jù)點(diǎn)Q（

b-2

2

，m）在雙曲線y=

k

x

上即可得出m的值；
（2）先根據(jù)題意得出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，再由P（1，k）是AB與雙曲線的交點(diǎn)，Q（

k

2

，2）是BC與雙曲線的交點(diǎn)，得出S_△OPQ=S_矩形OABC-S_△AOP-S_△COQ-S_△BPQ，假設(shè)存在這樣的k值，△OPQ的面積等于△BPQ面積的2倍，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵P（1，k）在直線y=-2x+b上，
∴k=-2b，
∵Q（

b-2

2

，m）在雙曲線y=

k

x

上，
∴m=

k

b-2 2

=2；

（2）∵m=

k

b-2 2

=2，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（

k

2

，2），
∵P（1，k）是AB與雙曲線的交點(diǎn)，Q（

k

2

，2）是BC與雙曲線的交點(diǎn)，
∴S_△OPQ=S_矩形OABC-S_△AOP-S_△COQ-S_△BPQ
=1×2-

1

2

×1×k-

1

2

×

k

2

×2-

1

2

×（1-

k

2

）（2-k）
=1-

1

4

k²．
假設(shè)存在這樣的k值，△OPQ的面積等于△BPQ面積的2倍，
則1-

1

4

k²=2×

1

2

×（1-

k

2

）（2-k），
整理得，3k²+8k+4=0，解得k=2（舍去）或k=

2

3

，
∴存在k=

2

3

時(shí)，使得△OPQ的面積等于△BPQ的兩倍．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)與反比例函數(shù)性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)，難適中．