Question

已知：如圖，在邊長為2的等邊三角形△ABC中，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位從C向B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，且PQ=1，過P、Q點(diǎn)分別向BC作垂線，垂足分別為P、Q，交AC、AB于M、N，連接MN；
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形MPQN是矩形？
（2）不管點(diǎn)P如何移動(dòng)，四邊形MPQN的面積是否改變，說明理由；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△CMP與△AMN相似？這時(shí)△MNP是什么類型的三角形？

Answer 1

分析：（1）由于四邊形MPQN是矩形，所以在MPQN中PM=NQ，據(jù)此列出關(guān)于t的等式，解方程即可；
（2）不管點(diǎn)P如何移動(dòng)，四邊形MPQN的面積不發(fā)生改變，根據(jù)（1）中所求PM、QN的表達(dá)式，利用梯形面積表達(dá)式即可求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，通過計(jì)算為定值；
（3）根據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)邊的不同，會(huì)得到不同的相似三角形，再分兩種情況討論．

解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，PM⊥CB，QN⊥CB，
∴∠B=∠C=60°，
在Rt△CPM和Rt△BQN中，
∵CP=t，BQ=1-t，
∴PM=CP•tanC=t•tan60°=

3

t，
QN=BQ•tanB=（1-t）tan60°=

3

（1-t），
∵四邊形MPQN是矩形，
∴PM=NQ，
即：

3

t=

3

（1-t），
解得：t=

1

2

；

（2）不管點(diǎn)P如何移動(dòng)，四邊形MPQN的面積不發(fā)生改變，理由如下：
由（1）可知：PM=CP•tanC=t•tan60°=

3

t，QN=BQ•tanB=（1-t）tan60°=

3

（1-t），
∴S_四邊形MPNQ=

1

2

×1×[

3

t+

3

（1-t）]=

3

2

；
∴不管點(diǎn)P如何移動(dòng)，四邊形MPQN的面積不發(fā)生改變；

（3）∵△CMP是Rt△，且∠CPM=90°，∠C=60°，△AMN中∠A=60°，
若使△CMP與△AMN相似，對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)只能是：C→A，P→N，M→M或C→A，P→M，M→N，
①當(dāng)C→A，P→N，M→M時(shí)，由△CMP∽△AMN得：
∵CM=2t，BN=2（1-t），
∴AM=2-2t，AN=2-2（1-t）=2t，
∴

t

2t

=

2t

2-2t

，
解得：t=

1

3

；
②當(dāng)C→A，P→M，M→N時(shí)，由△CMP∽△ANM得：

CP

AM

=

CM

AN

，
∴

2t

2-2t

=

2t

2t

，解得：t=

2

3

，
綜合，所求t=

1

3

或

2

3

時(shí)△CMP與△AMN相似，
當(dāng)t=

2

3

時(shí)，都有AM=CP=BN，AN=CM=BP，
且∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ANM≌△CMP≌△BPN，
∴NM=MP=PN，即△MNP是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)以及判定、特殊角的銳角三角函數(shù)值、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，此題是一道動(dòng)點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是充分利用相似三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)列出關(guān)于t的等式解答．