Question

如圖，四邊形OBCD中的三個(gè)頂點(diǎn)在⊙O上，點(diǎn)A是優(yōu)弧BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、D重合）．
（1）當(dāng)圓心O在∠BAD內(nèi)部，∠ABO+∠ADO=60°時(shí)，∠BOD=

 

°；
（2）當(dāng)圓心O在∠BAD內(nèi)部，四邊形OBCD為平行四邊形時(shí)，求∠A的度數(shù)；
（3）當(dāng)圓心O在∠BAD外部，四邊形OBCD為平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠ABO與∠ADO的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,平行四邊形的性質(zhì),圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）連接OA，如圖1，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，則∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=60°，然后根據(jù)圓周角定理易得∠BOD=2∠BAD=120°；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得∠BOD=∠BCD，再根據(jù)圓周角定理得∠BOD=2∠A，則∠BCD=2∠A，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)由∠BCD+∠A=180°，易計(jì)算出∠A的度數(shù)；
（3）討論：當(dāng)∠OAB比∠ODA小時(shí)，如圖2，與（1）一樣∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，則∠OAD-∠OAB=∠ADO-∠ABO=∠BAD，由（2）得∠BAD=60°，
所以∠ADO-∠ABO=60°；當(dāng)∠OAB比∠ODA大時(shí)，用樣方法得到∠ABO-∠ADO=60°．

解答：解：（1）連接OA，如圖1，
∵OA=OB，OA=OD，
∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，
∴∠OAB+∠OAD=∠ABO+∠ADO=60°，即∠BAD=60°，
∴∠BOD=2∠BAD=120°；
故答案為120；
（2）∵四邊形OBCD為平行四邊形，
∴∠BOD=∠BCD，
∵∠BOD=2∠A，
∴∠BCD=2∠A，
∵∠BCD+∠A=180°，即3∠A=180°，
∴∠A=60°；
（3）當(dāng)∠OAB比∠ODA小時(shí)，
如圖2，
∵OA=OB，OA=OD，
∵∠OAB=∠ABO，∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD-∠OAB=∠ADO-∠ABO=∠BAD，
由（2）得∠BAD=60°，
∴∠ADO-∠ABO=60°；
當(dāng)∠OAB比∠ODA大時(shí)，
同理可得∠ABO-∠ADO=60°，
綜上所述，|∠ABO-∠ADO|=60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)．