Question

如圖，一拋物線的頂點(diǎn)A為（2，-1），交x軸于B、C（B左C右）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D，且B（1，0），坐標(biāo)原點(diǎn)為O，
（1）求拋物線解析式．
（2）連接CD、BD，在x軸上確定點(diǎn)E，使以A、C、E為頂點(diǎn)的三角形與△CBD相似，并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（3）若點(diǎn)M（m，1）是拋物線上對(duì)稱軸右側(cè)的一點(diǎn)，點(diǎn)Q也在拋物線上，點(diǎn)P在x軸上，是否存在以O(shè)、M、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）²-1，然后把B（1，0）代入計(jì)算求出a即可；
（2）先確定D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；過(guò)A作AH⊥x軸，易得△ODC和△ACH都為等腰直角三角形，BC=2，DC=3

2

，AC=

2

，∠DCB=∠ACH=45°，然后分類討論：若CE：CB=CA：CD，即CE：2=

2

：3

2

；若CE：CD=CA：CB，即CE：3

2

=

2

：2，分別求出CE，即可確定E點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）先確定M（2+

2

，1），然后分類討論：如圖，
當(dāng)OP為對(duì)角線，則M與Q到x軸的距離相等，都為1，所以Q點(diǎn)在A點(diǎn)，求出AM的解析式，得到與x軸的交點(diǎn)G的坐標(biāo)，P₁與O關(guān)于G對(duì)稱，可得P₁坐標(biāo)；當(dāng)OM為對(duì)角線，則MQ∥x軸，這樣可確定Q₂的坐標(biāo)，然后利用平行四邊形的性質(zhì)可確定P₂的坐標(biāo)；同理可得到P₃的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)A為（2，-1），可設(shè)拋物線解析式為y=a（x-2）²-1，
把B（1，0）代入得，a-1=0，解得a=1，
∴y=（x-2）²-1=x²-4x+3；

（2）令x=0，得y=3，∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）；
令y=0，得x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；
過(guò)A作AH⊥x軸，如圖，
易得△ODC和△ACH都為等腰直角三角形，BC=2，DC=3

2

，AC=

2

，
∴∠DCB=∠ACH=45°，
當(dāng)以A、C、E為頂點(diǎn)的三角形與△CBD相似，則∠DCB=∠ACE=45°，
若CE：CB=CA：CD，即CE：2=

2

：3

2

，解得CE=

2

3

，
∴OE=3-

2

3

=

7

3

，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（

7

3

，0）；
若CE：CD=CA：CB，即CE：3

2

=

2

：2，解得CE=3，
∴OE=3-3=0，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0）；

（3）存在．P點(diǎn)坐標(biāo)為（-2

2

，0）；（2

2

，0）；（4+

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題的解法：先通過(guò)合理的設(shè)拋物線的解析式，利用待定系數(shù)法確定解析式，在分別求出個(gè)特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)特點(diǎn)得到幾何性質(zhì)，然后利用幾何性質(zhì)解決問(wèn)題．也考查了分類討論思想的運(yùn)用、三角形相似的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)．