Question

如圖，已知直線y=

1

2

x與雙曲線y=

k

x

（k＞0）交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4
（1）求k的值
（2）若雙曲線y=

k

x

（k＞0）上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，求△AOC的面積
（3）過原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線y=

k

x

（k＞0）于P、Q兩點(diǎn)（P點(diǎn)在第一象限），若△AOP的面積為6，求直線l的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：

分析：（1）由條件可先求得A點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式可求得k的值；
（2）可求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，過C作x軸、y軸的垂線，垂足分別為D、E，過A作x軸的垂線，垂足為F，可求得S_矩形CDOE+S_梯形CDFA，由反比例函數(shù)k的幾何意義可求得S_△COE和S_△AOF，可求出S_△AOC；
（3）設(shè)直線l的解析式為y=mx，則可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，mx），過P作PN⊥y軸，PM⊥x軸，可表示出△PON、矩形PMON、梯形PMDA的面積，可得到關(guān)于xm的方程，又P在雙曲線上，可求得m的值，可得出直線l的解析式．

解答：解：
（1）由A在直線y=

1

2

x，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4，代入可求得A點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），
又A點(diǎn)在雙曲線上，
∴k=4×2=8；
（2）當(dāng)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8時(shí)，代入雙曲線可求得其橫坐標(biāo)為1，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，8），
如圖1，過C作x軸、y軸的垂線，垂足分別為D、E，過A作x軸的垂線，垂足為F，

則OE=CD=8，OD=1，OF=4，AF=2，可求得DF=3，
∴S_矩形CDOE+S_梯形CDFA=8+15=23，
又k=8，∴S_△COE=S_△AOF=

1

2

×8=4，
∴S_△AOC=S_矩形CDOE+S_梯形CDFA-S_△COE-S_△AOF=23-4-4=15；
（3）設(shè)直線l的解析式為y=mx，則可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，mx）（其中x＞0），
如圖2，過P作PN⊥y軸，PM⊥x軸，垂足分別為N，M，

則PN=OM=x，ON=PM=mx，又AD=2，OD=4，可得MD=4-x，
∴S_矩形PMON=mx²，S_梯形ADMP=

1

2

（2+mx）（4-x），
又P、A在雙曲線上，
∴S_△PON=S_△AOD=

1

2

k=4，
且S_矩形PMON+S_梯形ADMP=S_△PON+S_△AOD+S_△AOP，
∴mx²+

1

2

（2+mx）（4-x）=4+4+6，
整理可得mx²+（4m-2）x-20=0①，
又點(diǎn)P在雙曲線上，則有mx²=8，代入①整理可得：x²+6x-16=0，
解得x=2或-8（舍去），則m=2，
∴直線l的解析式為y=2x．

點(diǎn)評：本題主要考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握反比例函數(shù)k的幾何意義是解題的關(guān)鍵，即利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出圖形的面積是關(guān)鍵，注意方程思想的應(yīng)用．