Question

已知一次函數y=-

3

x+m（m為實數）的圖象為直線l，l分別交x，y于A，B兩點，以坐標原點O為圓心的圓的半徑為1．
（1）求A、B兩點的坐標（用含m的代數式表示）；
（2）設點O到直線l的距離為d，試用含m的代數式表示d，并求出當直線1與⊙O相切時，m的值；
（3）當⊙O被直線l所截得的弦長等于1時，求m的值及直線l與⊙O的交點坐標．

Answer 1

分析：（1）對一次函數y=-

3

x+m，令y=0求得A點坐標，x=0時求得B點坐標；
（2）按照等量關系“

1

2

×OA×OB=

1

2

×AB×d”得出d的值，當d=1時，直線1與⊙O相切；
（3）由圓和直線的幾何關系以及前兩問得出的信息求得m值及交點坐標．

解答：解：（1）當x=0時，y=m；當y=0時，x=

3

3

m
∴A點坐標為（

3

3

m，0），B點坐標為（0，m）．

（2）結合圖象可知：
OA=

3

3

|m|，OB=|m|，
在Rt△OAB中，無論m（m≠0）取何值，
都有tan∠BAO=

OB

OA

=

3

，∴∠BAO=60°
當m=0時，也可推得直線1與x軸成60°角，又d是Rt△OAB斜邊上的高，
∴d=

1

2

|m|，
∵⊙O的半徑等于1，∴

1

2

|m|=1，
∴m=±2．

（3）由（2）推出∠BAO=60°．又l被⊙O所截得的弦長等于半徑1，結合圓的性質可知1過⊙O與x軸的交點（1，0）或（-1，0）
把（1，0）或（-1，0）代入y=-

3

x+m中，
可求得m=±

3

從而得1與⊙O的另一交點坐標為（

1

2

，

3

2

）或（-

1

2

，-

3

2

）

點評：此題考查的是一次函數坐標的求法、點到直線的距離以及圓和直線的幾何關系．