Question

直線l的解析式為，與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，P是x軸上一點(diǎn)，以P為圓心的圓與直線l相切于B點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)及⊙P的半徑R；
（2）若⊙P以每秒個(gè)單位沿x軸向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)⊙P的半徑以每秒個(gè)單位變小，設(shè)⊙P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，且⊙P始終與直線l有交點(diǎn)，試求t的取值范圍；
（3）在（2）中，設(shè)⊙P被直線l截得的弦長(zhǎng)為a，問是否存在t的值，使a最大？若存在，求出t的值；
（4）在（2）中，設(shè)⊙P與直線l的一個(gè)交點(diǎn)為Q，使得△APQ與△ABO相似，請(qǐng)直接寫出此時(shí)t的值．

Answer 1

解：（1）如圖，由于直線ly=+8與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
∵y=x+8，
∴y=0，x=-．A（-，0），
∴x=0，y=8．B（0，8），
又OB⊥AP，AB切⊙P于B點(diǎn)，可以得到△ABO∽△BPO，
∴=，
∴=，
∴OP=6，
P為圓心的圓與直線L相切于B點(diǎn)．
R=PB==10；

（2）∵R是點(diǎn)P到直線L的距離，則⊙P始終與直線l有交點(diǎn)．
P[（6-），0]，R=10-，L：3x-4y+32=0，
點(diǎn)P到直線L的距離H=|10-|，
10-≥|10-|，
10-≥10-≥-（10-），
t≤0，
點(diǎn)P到直線L的距離：H=|10-2t|，
10-≥10-2t≥-（10-），
7.5≥t≥0；

（3）∵（ ）²=R²-H²=（10-）²-（10-2t）²=（-）×（t-）²+50，
t=，（ ）²_最大=50，a_最大=10 ；

（4）∵在（2）中，設(shè)⊙P與直線l的一個(gè)交點(diǎn)為Q，使得△APQ與△ABO相似，
即△APQ與△ABO相似，∴PQ垂直AB，
∴⊙P與直線L相切，
t=0，或t=7.5．
分析：（1）直線l的解析式y(tǒng)=+8，與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，求出A（-，0），B（0，8），再得出△ABO∽△BPO，進(jìn)而求出OP的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出即可．
（2）由R≥點(diǎn)P到直線L的距離，則⊙P始終與直線l有交點(diǎn)，求得t的取值范圍．
（3）先假設(shè)存在這樣的t，然后由二次函數(shù)最值求法求出t值．
（4）利用在（2）中，設(shè)⊙P與直線l的一個(gè)交點(diǎn)為Q，使得△APQ與△ABO相似，即PQ⊥AB時(shí)就符合要求求出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定與性質(zhì)和二次函數(shù)最值求法等知識(shí)，根據(jù)已知借助數(shù)形結(jié)合得出相似三角形是解決問題的關(guān)鍵．