Question

如圖1，拋物線y=-（x-3）（x-m+1）與x軸交于點(diǎn)A、B（B在x軸負(fù)半軸），與y軸交于點(diǎn)E，直線y=（m+1）x-3經(jīng)過點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，直線y=kx（k＜0）交直線AC于點(diǎn)P，交拋物線于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作x軸的垂線交直線AC于點(diǎn)N．請問：是否存在實(shí)數(shù)k，使經(jīng)過點(diǎn)P、M、N三點(diǎn)的圓的圓心恰好在∠MPN的平分線上？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由；
（3）如圖3，動點(diǎn)G、K都以1個單位/秒的速度分別從A、C兩點(diǎn)同時出發(fā)，沿x軸、y軸向點(diǎn)O運(yùn)動，經(jīng)過t秒后（0＜t＜3）到達(dá)如圖的位置，延長EG交AK于F，不論t取何值，對于等式①

FE-FA

OF

=2

2

；②∠AEG=∠AKG，其中，有一個恒成立，請判斷哪一個恒成立，并證明這個成立的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=-（x-3）（x-m+1）與x軸交于點(diǎn)A、B（B在x軸負(fù)半軸），可得A點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，0）．即可求出m的值，進(jìn)而得出二次函數(shù)解析式；
（2）利用△PMN外心既在三邊的中垂線上，又在內(nèi)角∠MPN的平分線上，得出△PMN為等腰三角形，MN為底邊．又因?yàn)椤鱌OC∽△PMN，進(jìn)而求出即可；
（3）利用已知證明△EHG≌△KGA，從而得出∠AEG=∠AKG．

解答：解：（1）拋物線y=-（x-3）（x-m+1）與x軸交于點(diǎn)A、B（B在x軸負(fù)半軸），
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，0）．
∴代入直線y=（m+1）x-3，
∴0=3m+3-3，
∴m=0，
∴y=-x²+2x+3；

（2）k=-1；
因?yàn)椤鱌MN外心既在三邊的中垂線上又在內(nèi)角∠MPN的平分線上，
所以△PMN為等腰三角形，MN為底邊．又因?yàn)椤鱌OC∽△PMN，
∵∠PCO=45°∴∠POC=45°，∵OC=3，
∴點(diǎn)P(

3

2

，-

3

2

)，代入y=kx，所以k=-1．

（3）②成立，過點(diǎn)G作GH⊥AG交AE于H點(diǎn)，
則△AGH為等腰直角三角形，
所以AH=

2

t，
則HE=3

2

-

2

t，
因?yàn)镺G=OK=3-t，
所以KG=3

2

-

2

t，
于是EH=KG，
因?yàn)镚H=GA，∠EHG=∠KGA=135°，
所以△EHG≌△KGA，
所以∠AEG=∠AKG．（注：①為定值

2

）

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，得出A點(diǎn)坐標(biāo)以及利用三角形相似得出是解決問題的關(guān)鍵．