Question

（2013•歷城區(qū)一模）如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=

3

，AB=6．在底邊AB上有一動點E，滿足∠DEQ=120°，EQ交射線DC于點F．
（1）求下底DC的長度；
（2）當(dāng)點E是AB的中點時，求線段DF的長度；
（3）請計算射線EF經(jīng)過點C時，AE的長度．

Answer 1

分析：（1）過B作BM⊥DC于M，得出四邊形ADMB是矩形，求出BM、DM，求出CM即可；
（2）過E點作EG⊥DF，得出四邊形ADGE是矩形，求出EG和DG，求出FG即可；
（3）過點B作BH⊥DC，過點C作CM⊥AB交AB延長線于點M，則BH=AD=

3

，求出CH=1，BC=2，設(shè)AE=x，則BE=6-x，在Rt△ADE中，DE=

AD2+AE2

=

3+x2

，在Rt△EFM中，EF=

(EB+BM)2+MF2

=

(6-x+1)2+( 3 )2

=

(7-x)2+3

，證△EDF∽△BCE，推出

2

3+x2

=

6-x

(7-x)2+3

，求出方程的解即可．

解答：解：（1）如圖1，過B作BM⊥DC于M，
∵AB∥DC，∠A=90°，
∴∠A=∠D=∠BMD=90°，
∴四邊形ADMB是矩形，
∴AB=DM=6，AD=BM=

3

，∠ABM=90°，
∵∠ABC=120°，
∴∠MBC=120°-90°=30°，
∴CM=BM•tan30°=

3

×

3

3

=1，
∴DC=6+1=7；

（2）如圖2，過E點作EG⊥DF，
∵AB∥DC，∠A=90°，
∴∠A=∠ADG=∠DGE=90°，
∴四邊形ADGE是矩形，
∵E是AB的中點，
∴DG=AE=3，
∴EG=AD=

3

，
∴∠DEG=60°，
∵∠DEF=120°，
∴tan60°=

GF

3

，
解得GF=3，
∴DF=6；

（3）如圖3，過點B作BH⊥DC，過點C作CM⊥AB交AB延長線于點M，則BH=AD=

3

，
∵∠ABC=120°，AB∥CD，
∴∠BCH=60°，
∴CH=

BH

tan60°

=

3

3

=1，BC=

BH

sin60°

=

3

3 2

=2，
設(shè)AE=x，則BE=6-x，
在Rt△ADE中，DE=

AD2+AE2

=

3+x2

，
在Rt△EFM中，EF=

(EB+BM)2+MF2

=

(6-x+1)2+( 3 )2

=

(7-x)2+3

，
∵AB∥CD，
∴∠EFD=∠BEC，
∵∠DEF=∠B=120°，
∴△EDF∽△BCE，
∴

BC

DE

=

BE

EF

，即

2

3+x2

=

6-x

(7-x)2+3

，
解得：x=2或5，
∴AE=2或5．

點評：本題考查了矩形性質(zhì)和判定，梯形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，本題綜合性比較強，有一定的難度．