Question

現(xiàn)將連續(xù)自然數(shù)1至2009按圖中的方式排列成一個(gè)長方形隊(duì)列，再用正方形任意框出16個(gè)數(shù)．
（1）設(shè)任意一個(gè)這樣的正方形框中的最小數(shù)為n，請用n的代數(shù)式表示該框中的16個(gè)數(shù)，然后填入右表中相應(yīng)的空格處，并求出這16個(gè)數(shù)中的最小數(shù)______和最大數(shù)______，然后填入右表中相應(yīng)的空格處，并求出這16個(gè)數(shù)的和______．（用n的代數(shù)式表示）
（2）在圖中，要使一個(gè)正方形框出的16個(gè)數(shù)之和和分別等于832、2000、2008是否可能？若不可能，請說明理由；若可能，請求出該正方形框出的16個(gè)數(shù)中的最小數(shù)和最大數(shù)．
（3）計(jì)算出該長方形隊(duì)列中，共可框出多少個(gè)這樣不同的正方形框？

Answer 1

解：（1）設(shè)左上角第一個(gè)數(shù)為n，根據(jù)相鄰之間的關(guān)系可以得到下表：

其中最小數(shù)為n，最大數(shù)為n+24．
這16個(gè)數(shù)的和為16n+192=16（n+12）．

（2）設(shè)在（A）16（n+12）=832，n=40，∴存在最小為40，最大40+24=64
（B）16（n+12）=2000，n=113，∴存在最小為113，最大為137，
（C）16（n+12）=2008，n=113.5，∴不存在．

（3）設(shè)共有n行，
∵每行有7個(gè)數(shù)，
∴7n-6=2003，n=287，
后3行不能構(gòu)成正方形，故287-3=284行，每行4個(gè)，
共284*4=1136．
故答案為：n，n+24，16（n+12），1136．
分析：（1）根據(jù)正方形框中數(shù)字左右相鄰時(shí)相差1，上下相鄰時(shí)相差7可以得到以下圖表．用n表示這16個(gè)的和=16n+192=16（n+12），
（2）這16個(gè)的和=16n+192=16（n+12），分別讓16個(gè)數(shù)之和和分別等于832、2000、2008看n是否為整數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論．
（3）根據(jù)圖表可知，一個(gè)正方形共有16個(gè)數(shù)，上下左右是相鄰的，則第一行中共有4個(gè)，倒數(shù)后3行不能得到，總共可以框出的行數(shù)是287-3=284，284*4=1136．
點(diǎn)評：通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是應(yīng)該具備的基本能力．