Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=1，BD平分∠ABC，BD⊥CD．
（1）求：①∠BAD的度數(shù)；②BD的長；
（2）延長BC至點E，使CE=CD，說明△DBE是等腰三角形．

Answer 1

（1）①∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，
∴∠ABC=∠DCB，∠1=∠3，∠A+∠ABC=180°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠2=∠3=∠DCB．
∵BD⊥CD，
∴∠1+∠DCB=∠1+2∠1=90°，
∴∠1=30°，
∴∠ABC=∠DCB=60°，
∴∠A=120°；
②∵∠2=∠3，
∴AB=AD=DC=1
過D作DF∥AB，則四邊形ABFD是平行四邊形，
∴AD=BF=1，DF=DC=AB．
∵∠DCB=60°，
∴△DFC是等邊三角形，
∴BC=2DC=2．
在Rt△DBC中，根據(jù)勾股定理，得
BD=．…
（2）∵CE=CD，∴∠4=∠E=∠DCB=30°，
∵∠1=30°
∴∠1=∠E，
∴DB=DE．
即△DBE是等腰三角形．…
分析：（1）由AD∥BC，AB=DC，得∠ABC=∠DCB，再由BD平分∠ABC，則∴∠1=∠2=∠3，根據(jù)BD⊥CD，得∠ABC=∠DCB=60°，則∠A=120°，過D作DF∥AB，則四邊形ABFD是平行四邊形，可證明△DFC是等邊三角形，根據(jù)勾股定理，得出BD；
（2）由CE=CD，得∠4=∠E=∠DCB，則∠1=∠E，從而得出DB=DE．即△DBE是等腰三角形
點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握．