Question

【題目】如圖，矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，以O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B，點(diǎn)D分別在x軸，y軸上，點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，若平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，且滿足S△POB＝S矩形OBCD，問：

（1）當(dāng)點(diǎn)P在矩形的對(duì)角線OC上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P到O，B兩點(diǎn)的距離之和PO+PB取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）P（，2）；（2）（，2）或（﹣，2）

【解析】

（1）根據(jù)已知條件得到C（5，3），設(shè)直線OC的解析式為y＝kx，求得直線OC的解析式為y＝x，設(shè)P（m，m），根據(jù)S△POB＝S矩形OBCD，列方程即可得到結(jié)論；

（2）設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為h，得到點(diǎn)P在直線y＝2或y＝﹣2的直線上，作B關(guān)于直線y＝2的對(duì)稱點(diǎn)E，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5，4），連接OE交直線y＝2于P，則此時(shí)PO+PB的值最小，設(shè)直線OE的解析式為y＝nx，于是得到結(jié)論．

（1）如圖：

∵矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，

∴C（5，3），

設(shè)直線OC的解析式為y＝kx，

∴3＝5k，

∴k＝，

∴直線OC的解析式為y＝x，

∵點(diǎn)P在矩形的對(duì)角線OC上，

∴設(shè)P（m，m），

∵S△POB＝S矩形OBCD，

∴5×m＝3×5，

∴m＝，

∴P（，2）；

（2）∵S△POB＝S矩形OBCD，

∴設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為h，

∴h×5＝5，

∴h＝2，

∴點(diǎn)P在直線y＝2或y＝﹣2上，

作B關(guān)于直線y＝2的對(duì)稱點(diǎn)E，

則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（5，4），

連接OE交直線y＝2于P，則此時(shí)PO+PB的值最小，

設(shè)直線OE的解析式為y＝nx，

∴4＝5n，

∴n＝，

∴直線OE的解析式為y＝x，

當(dāng)y＝2時(shí)，x＝，

∴P（，2），

同理，點(diǎn)P在直線y＝﹣2上，

P（，﹣2），

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，2）或（﹣，2）．