Question

如圖，AB為⊙O的直徑，D是⊙O上的一點(diǎn)，過O點(diǎn)作AB的垂線交AD于點(diǎn)E，交BD的延長線于點(diǎn)C，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，且FD=FE．
（1）請?zhí)骄縁D與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如果EF=3cm，求CF的長．

Answer 1

解：（1）FD與⊙O相切．
理由：連接OD；
∵FE=FD，
∴∠FED=∠FDE；
又∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵∠OEA+∠OAE=90°，∠FED=∠AEO，
∴∠ODE+∠FDE=90°，
∴FD與⊙O相切．

（2）∵FD=EF，
∴∠FED=∠FDE，
∵∠C+∠CED=90°，∠CDF+∠FDE=90°，
∴∠C=∠CDF，
∴FC=DF，
∴CF的長為3cm．
分析：（1）連接圓心和切點(diǎn)，利用OC⊥AB可證得∠ODF=90°，從而得到其位置關(guān)系；
（2）利用FD=EF得出∠FED=∠FDE，由∠C+∠CED=90°，∠CDF+∠FDE=90°，即可得出∠C=∠CDF，則FC=DF，得出答案即可．
點(diǎn)評：此題主要考查了切線的判定和等角對等邊以及互余等知識，求直線和圓的位置關(guān)系，首先要猜想是相切，那么應(yīng)連接圓心和切點(diǎn)，證半徑和直線所夾的角是90°．