Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（8，1），B（0，-3），反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過點A，動直線x=t（0＜t＜8）與反比例函數(shù)的圖象交于點M，與直線AB交于點N．
（1）求k的值；
（2）若△BMN面積為$\frac{25}{4}$，求點M的坐標(biāo)；
（3）若MA⊥AB，求t的值．

Answer 1

分析 （1）直接把點A（8，1）代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$，求出k的值即可；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，設(shè)M（t，$\frac{8}{t}$），N（t，$\frac{1}{2}$t-3），用t表示出MN的長度，再由△BMN面積為$\frac{25}{4}$求出t的值，進(jìn)而可得出M點的坐標(biāo)；
（3）過點A作AQ⊥y軸于點Q，延長AM交y軸于點P，根據(jù)△ABQ∽△PAQ得出P點坐標(biāo)，求出直線AP的解析式，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答 解：（1）把點A（8，1）代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）得：k=1×8=8，即k=8；

（2）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b（k≠0），
∵A（8，1），B（0，-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}8k+b=1\\ b=-3\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{2}\\ b=-3\end{array}\right.$．
∴直線AB的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x-3．
由（1）得反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{8}{x}$，
設(shè)M（t，$\frac{8}{t}$），N（t，$\frac{1}{2}$t-3），則MN=$\frac{8}{t}$-$\frac{1}{2}$t+3．
∴S_△BMN=$\frac{1}{2}$（$\frac{8}{t}$-$\frac{1}{2}$t+3）•t=-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{2}$t+4=-$\frac{1}{4}$（t-3）²+$\frac{25}{4}$．
∵S_△BMN=-$\frac{1}{4}$t²+$\frac{3}{2}$t+4=$\frac{25}{4}$，
∴（t-3）²=0，
∴t₁=t₂=3．
∴當(dāng)△BMN的面積為$\frac{25}{4}$時點M的坐標(biāo)為（3，$\frac{8}{3}$）．

（3）如圖，過點A作AQ⊥y軸于點Q，延長AM交y軸于點P，
∵M(jìn)A⊥AB，
∴△ABQ∽△PAQ，
∴$\frac{AQ}{BQ}$=$\frac{PQ}{AQ}$，即$\frac{8}{4}$=$\frac{PQ}{8}$，解得PQ=16，
∴P（0，17）．
又∵A（8，1），
∴直線AP的解析式為：y=-2x+17．
∴解-2x+17=$\frac{8}{x}$得，x₁=$\frac{1}{2}$，x₂=8，
∴t=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點、相似三角形的判定與性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識，難度適中．