如圖1,已知△ABC中,BC=3,AC=4,AB=5,直線MD是AB的垂直平分線,分別交AB、AC于M、D點(diǎn).
(1)求線段DC的長(zhǎng)度;
(2)如圖2,連接CM,作∠ACB的平分線交DM于N.求證:CM=MN.
分析:(1)連接BD,根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AD=BD,設(shè)DC=x,表示出BD=4-x,再根據(jù)勾股定理逆定理判斷出∠C=90°,然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解;
(2)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM=MC,根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠B=∠BCM,然后表示出∠B,再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出∠MDC與∠B的關(guān)系,根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理表示出∠MDC,然后列方程求出∠1=∠2,根據(jù)等角對(duì)等邊即可證明.
解答:(1)解:如圖,連接BD,∵M(jìn)D是AB的垂直平分線,
∴AD=BD,
設(shè)DC=x,則BD=AD=4-x,
在△ABC中,AC2+BC2=42+32=25=AB2,
∴∠C=90°,
在Rt△BCD中,DC2+BC2=BD2,
即x2+32=(4-x)2
解得x=
7
8
,
即DC的長(zhǎng)為
7
8
;

(2)證明:∵M(jìn)為AB的中點(diǎn),△ABC是直角三角形,
∴BM=MC,
∴∠B=∠BCM,
∵CN是∠ACB的平分線,
∴∠BCN=45°,
∴∠B=45°+∠1,
在四邊形BCDM中,∠B+90°+∠MDC+90°=360°,
∴∠MDC+∠B=180°,
在△CDN中,∠MDC+45°+∠2=180°,
∴∠MDC=135°-∠2,
∴135°-∠2+45°+∠1=180°,
∴∠1=∠2,
∴CM=MN.
點(diǎn)評(píng):本題考查了線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用,勾股定理逆定理的應(yīng)用,等角對(duì)等邊的性質(zhì),(2)根據(jù)四邊形的內(nèi)角和與三角形的內(nèi)角和定理列式求出兩個(gè)角相等是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn).
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相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)定義:若某個(gè)圖形可分割為若干個(gè)都與他相似的圖形,則稱這個(gè)圖形是自相似圖形.
探究:
(1)如圖甲,已知△ABC中∠C=90°,你能把△ABC分割成2個(gè)與它自己相似的小直角三角形嗎?若能,請(qǐng)?jiān)趫D甲中畫出分割線,并說(shuō)明理由.
(2)一般地,“任意三角形都是自相似圖形”,只要順次連接三角形各邊中點(diǎn),則可將原三分割為四個(gè)都與它自己相似的小三角形.我們把△DEF(圖乙)第一次順次連接各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割,稱為1階分割(如圖1);把1階分割得出的4個(gè)三角形再分別順次連接它的各邊中點(diǎn)所進(jìn)行的分割,稱為2階分割(如圖2)…依次規(guī)則操作下去.n階分割后得到的每一個(gè)小三角形都是全等三角形(n為正整數(shù)),設(shè)此時(shí)小三角形的面積為SN
①若△DEF的面積為10000,當(dāng)n為何值時(shí),2<Sn<3?(請(qǐng)用計(jì)算器進(jìn)行探索,要求至少寫出三次的嘗試估算過程)
②當(dāng)n>1時(shí),請(qǐng)寫出一個(gè)反映Sn-1,Sn,Sn+1之間關(guān)系的等式.(不必證明)精英家教網(wǎng)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,若已知△ABC中,D、E分別為AB、AC的中點(diǎn),則可得DE∥BC,且DE=
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BC.根據(jù)上面的結(jié)論:
(1)你能否說(shuō)出順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn),可得到一個(gè)什么特殊四邊形并說(shuō)明理由;
(2)如果將(1)中的“任意四邊形”改為條件是“平行四邊形”或“菱形”或“矩形”或“等腰梯形”,那么它們的結(jié)論又分別怎樣呢?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•德州)(1)如圖1,已知△ABC,以AB、AC為邊向△ABC外作等邊△ABD和等邊△ACE,連接BE,CD,請(qǐng)你完成圖形,并證明:BE=CD;(尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡);
(2)如圖2,已知△ABC,以AB、AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE,連接BE,CD,BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系?簡(jiǎn)單說(shuō)明理由;
(3)運(yùn)用(1)、(2)解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí),完成下題:
如圖3,要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)B,E的距離,已經(jīng)測(cè)得∠ABC=45°,∠CAE=90°,AB=BC=100米,AC=AE,求BE的長(zhǎng).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)添線補(bǔ)全如圖1幾何體的三視圖.

(2)如圖2,已知△ABC.請(qǐng)你確定一點(diǎn)P,使PB=PC,且點(diǎn)P到∠B的兩邊距離相等.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖1,已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上(直角三角板的短直角邊為DE,長(zhǎng)直角邊為DF),將直角三角板DEF繞D點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).
(1)在圖1中,DE交邊AB于M,DF交邊BC于N
①證明:DM=DN
②在這一旋轉(zhuǎn)過程中,直角三角板DEF與△ABC的重疊部分為四邊形DMBN,請(qǐng)說(shuō)明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明是如何變化的?若不發(fā)生變化,求出其面積
(2)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置,延長(zhǎng)AB交DE于M,延長(zhǎng)BC交DF于N,DM=DN是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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