Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)．

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）若點(diǎn)M是該二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，且滿足，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)P是該二次函數(shù)圖象上位于一象限上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PA分別交BC，y軸與點(diǎn)E、F，若、的面積分別為、，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）

（2）或（－5，－18）

（3）

【解析】

（1）已知三點(diǎn)坐標(biāo)，代入二次函數(shù)解析式，得三元一次方程組，可求得二次函數(shù)解析式.

（2）已知二次函數(shù)解析式，可求得B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0）當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，過(guò)C作CM∥AB交拋物線于點(diǎn)M，四邊形ABMC為等腰梯形，可求得滿足條件的M點(diǎn)坐標(biāo).如果M點(diǎn)在x軸下方，先求出直線AC和直線BM的解析式，直線BM的解析式和拋物線的交點(diǎn)即為M點(diǎn)，聯(lián)立方程求解.

（3）過(guò)點(diǎn)P作PH∥y軸交直線BC于點(diǎn)H，可設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出PH的長(zhǎng)，可表示出△PEB的面積，進(jìn)一步可表示出直線AP的解析式，可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線BC和PA的解析式，可表示出E點(diǎn)橫坐標(biāo)，從而可表示出△CEF的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得S2-S1的最小值．

（1）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)

則

得

二次函數(shù)解析式為：

（２）當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，過(guò)C作CM∥AB交拋物線于點(diǎn)M，如圖1

∵A、B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，CM關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱
∴四邊形ABMC為等腰梯形

∴∠CAO=∠MBA，即點(diǎn)M滿足條件

∴M(3，2)

當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)

∵∠MBA=∠CAO

∴BM∥AC
∵C(0，2)，

∴可設(shè)直線AC解析式為y=kx+2，把A(1，0)代入可求得k=2，

∴直線AC解析式為y=2x+2，

∴可設(shè)直線BM解析式為y=2x+m，把B(4，0)代入可求得m=8，

∴直線BM解析式為y=2x8，

聯(lián)立直線BM和拋物線解析式可得解得或

∴M(5，18)
綜上可知滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，2)或(5，18)；

（3）

過(guò)點(diǎn)P作PH∥y軸交直線BC于點(diǎn)H，如圖2，

設(shè)

由B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求得直線BC的解析式為y=x+2

∴H(t，t+2)

∴PH=yPyH=(t+2)=

設(shè)直線AP的解析式為y=px+q

∴

解得

∴直線AP的解析式為，令x=0可得

∴F(0，)，

∴CF=2（）=

聯(lián)立直線AP和直線BC解析式可得

解得x=，即E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

當(dāng)時(shí)，S2-S1的最小值為-