Question

如圖，已知拋物線交x軸的正半軸于點A，交y軸于點B.

1.求直線AB的解析式；

2.設(shè)P（x，y）（x>0）是直線y = x上的一點，Q是OP 的中點（O是原點），以PQ為對角線作正方形PEQF，若正方形PEQF與直線AB有公共點，求x的取值范圍；

3.在（2）的條件下，記正方形PEQF與△OAB公共部分的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并探究S的最大值．

 

Answer 1

【答案】

 

1.對于，令x=0，得y=4，即B（0，4）；…

令y=0，即，解得：x₁ = —2，x₂ = 4，即A（4，0）

設(shè)直線AB的解析式為y = kx + b，

把A（4，0），B（0，4）分別代入上式，得

，解得：k = —1，b = 4，

∴ 直線AB的解析式為y = —x + 4。  

2.當點P（x，y）在直線AB上時，由x = —x + 4，得：x = 2，

當點Q在直線AB上時，依題意可知Q（，），由，得：x = 4，

∴ 若正方形PEQF與直線AB有公共點，則x的取值范圍為2≤x≤4；

3.當點E（x，）在直線AB上時，，解得，

① 當時，直線AB分別與PE、PF交于點C、D，此時PC = x—(—x+4) = 2x—4，

∵ PD = PC，

∴ S_△PCD =

∴

∵，

∴ 當時，

② 當時，直線AB分別與QE、QF交于點M、N，此時，

∵ QM = QN，

∴ S_△QMN=

即，

其中，當時，

綜合①、②，當時，

【解析】

1.拋物線的解析式中，令x=0可求出B點的坐標，令y=0可求出A點的坐標，然后用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式；

2.可分別求出當點P、點Q在直線AB上時x的值，即可得到所求的x的取值范圍；

3.此題首先要計算出一個關(guān)鍵點：即直線AB過E、F時x的值（由于直線AB與直線OP垂直，所以直線AB同時經(jīng)過E、F），此時點E的坐標為（x，），代入直線AB的解析式即可得到x=；

①當2≤x＜時，直線AB與PE、PF相交，設(shè)交點為C、D；那么重合部分的面積為正方形QEPF和等腰Rt△PDC的面積差，由此可得到關(guān)于S、x的函數(shù)關(guān)系式，進而可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍求出S的最大值及對應(yīng)的x的值；

②當≤x≤4時，直線AB與QE、QF相交，設(shè)交點為M、N；此時重合部分的面積為等腰Rt△QMN的面積，可參照①的方法求出此時S的最大值及對應(yīng)的x的值；

綜合上述兩種情況，即可比較得出S的最大值及對應(yīng)的x的值．