Question

如圖，四邊形ABCD中，AD=BC，AB=CD，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，且∠DAF=∠BCE，

（1）求證：AE=CF；
（2）若將此題中的條件改為：“E，F(xiàn)分別是AB，CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)”，其余條件不變，此時(shí)，∠ABC=60°，∠BEC=40°，作∠ABC的平分線BN交AF于M，交AD于N，求∠AMN的度數(shù)（要求：畫示意圖，不寫畫法，寫推理過(guò)程）

Answer 1

解：（1）∵AD=BC，AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠D=∠B，
∵∠DAF=∠BCE，
∴△ADF≌△CBE，
∴BE=DF，
∴AE=CF；

（2）∵∠ABM=∠CBM=∠ABC=30°，
又∵AD∥BC
∴∠MND=∠CBM=30°
∵∠ABC=∠E+∠BCE，
∴∠BCE=∠ABC-∠E=60°-40°=20°
∴∠FAD=∠BCE=20°
又∵∠MND=∠FAD+∠AMN
∴∠AMN=∠MND-∠FAD=30°-20°=10°．
分析：（1）易得四邊形ABCD是平行四邊形，那么∠D=∠B，易得△ADF≌△CBE，那么BE=DF，∴AE=CF；
（2）利用外角等于和它不相鄰的2個(gè)內(nèi)角的和可得∠BCE的度數(shù)，也就求得了∠DAF的度數(shù)，利用角平分線定義易得∠NBC的度數(shù)，也就求得了∠MND的度數(shù)，利用三角形的外角的性質(zhì)即可求得∠AMN的度數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形的平行四邊形；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；角平分線把一個(gè)角分成了2個(gè)相等的角；三角形的內(nèi)角和是180°．