Question

觀察下列每對(duì)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)間的距離 4與-2，3與5，-2與-6，-4與3．并回答下列各題：
（1）你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值有什么關(guān)系嗎？
答：______．
（2）若數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為x，點(diǎn)B表示的數(shù)為-1，則A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為_(kāi)_____；若|x-6|=3，則x=______．
（3）結(jié)合數(shù)軸求出|x-2|+|x+1|的最小值為_(kāi)_____，此時(shí)符合條件的整數(shù)x為_(kāi)_____．

Answer 1

解：（1）由觀察可知：所得距離與這兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值相等；
故答案為：所得距離與這兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值相等；

（2）結(jié)合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)分以下三種情況進(jìn)行討論．

當(dāng)x＜-1時(shí)，距離為-x-1，

當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，距離為x+1，

當(dāng)x＞0，距離為x+1．綜上，我們得到A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為|x+1|；
若|x-6|=3，則x-6=±3，x=9或3；
故答案為：|x+1|；x=9或3；

（3）因?yàn)閤為有理數(shù)，就是說(shuō)x可以為正數(shù)，也可以為負(fù)數(shù)，也可以為0，所以要分情況討論．
①當(dāng)x＜-1時(shí)，x-2＜0，x+1＜0，所以|x-1|+|x+3|=-（x-2）-（x+1）=-2x-1＞3；
②當(dāng)-1≤x＜2時(shí)，x-2＜0，x+1≥0，所以|x-1|+|x+3|=-（x-2）+（x+1）=3；
③當(dāng)x≥2時(shí)，x-2≥0，x+1＞0，所以|x-2|+|x+1|=（x-2）+（x+1）=2x-1≥3；
綜上所述，當(dāng)x=2或-1時(shí)，所以|x-2|+|x+1|的最小值是3．
故答案為：3；2或-1．
分析：（1）直接借助數(shù)軸可以得出；
（2）點(diǎn)B表示的數(shù)為-1，所以我們可以在數(shù)軸上找到點(diǎn)B所在的位置．那么點(diǎn)A呢？因?yàn)閤可以表示任意有理數(shù)，所以點(diǎn)A可以位于數(shù)軸上的任意位置．那么，如何求出A與B兩點(diǎn)間的距離呢？
結(jié)合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)分以下三種情況進(jìn)行討論．

當(dāng)x＜-1時(shí)，距離為-x-1，

當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，距離為x+1，

當(dāng)x＞0，距離為x+1．綜上，我們得到A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為|x+1|；
若|x-6|=3，則x-6=±3，求出x即可；
（3）為x為有理數(shù)，所以要分類(lèi)討論x-1與x+3的正負(fù)，再去掉絕對(duì)值符號(hào)再計(jì)算．
點(diǎn)評(píng)：考查了數(shù)軸，借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對(duì)值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上有關(guān)距離的問(wèn)題，反之，有關(guān)數(shù)軸上的距離問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值問(wèn)題．這種相互轉(zhuǎn)化在解決某些問(wèn)題時(shí)可以帶來(lái)方便．事實(shí)上，|A-B|表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)A與數(shù)B的點(diǎn)之間的距離．