Question

如圖，AB是半圓直徑，半徑OC⊥AB于點O，AD平分∠CAB交弧BC于點D，連結CD、OD，給出以下四個結論：①AC∥OD；②；③△ODE∽△ADO；④．其中一定正確的結論有（ ）
個

A．1個        B．2個       C．3個       D．4個

Answer 1

B

①∵AB是半圓直徑，∴AO=OD，∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，∴∠CAD=∠DAO=∠CAB，∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，∴①正確．
②過點E作EF⊥AC，∵OC⊥AB，AD平分∠CAB交弧BC于點D，∴OE=EF，
在Rt△EFC中，CE＞EF，∴CE＞OE，∴②錯誤．
③∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO=∠EDO，∵∠COD=2∠CAD=2∠OAD，
∴∠DOE≠∠DAO，∴不能證明△ODE和△ADO相似，∴③錯誤；
④∵AD平分∠CAB交弧BC于點D，∴∠CAD=×45°=22.5°，∴∠COD=45°，
∵AB是半圓直徑，∴OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=67.5°∵∠CAD=∠ADO=22.5°（已證），
∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°，∴△CED∽△COD，∴，
∴CD²=OD•CE=AB•CE，∴2CD²=CE•AB．∴④正確．綜上所述，只有①④正確．故選B．