Question

【題目】如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)D與點(diǎn)B分別位于直線AC的兩側(cè)，且AD=AC, 聯(lián)結(jié)BD、CD，BD交直線AC于點(diǎn)E.

（1）當(dāng)∠CAD=90°時(shí)，求線段AE的長(zhǎng).

（2）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CD，垂足為點(diǎn)H，直線AH交BD于點(diǎn)F，

①當(dāng)∠CAD<120°時(shí)，設(shè)，（其中表示△BCE的面積，表示△AEF的面積），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；

②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AE的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）（2） ()；（3）或

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．，則．根據(jù)構(gòu)建方程求出即可解決問(wèn)題．

（2）①證明，可得，由此構(gòu)建關(guān)系式即可解決問(wèn)題．

②分兩種情形：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求解即可解決問(wèn)題．

解：（1）是等邊三角形，

，．

，

，

，

，，，

．

過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．

設(shè)，則．

在中，，

，，

，

在中，，

，

解得．

所以線段的長(zhǎng)是．

（2）①設(shè)，則，．

，，

，

又，

，

，

又，

，

，

由（1）得在中，，，

，

．

②當(dāng)時(shí)，

，則有，

整理得，

解得或（舍棄），

．

當(dāng)時(shí)，同法可得

當(dāng)時(shí)，，

整理得，

解得（舍棄）或1，

．

綜上所述：當(dāng)∠CAD<120°時(shí)，； 當(dāng)120°<∠CAD<180°時(shí)，.