Question

已知如圖，四邊形ABOC為矩形，AB=4，AC=6，一次函數(shù)經(jīng)過B點與反比例函數(shù)交于D點，與x軸交于E點，且D為AC的中點．
①求點D和點E的坐標；
②求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
③在x軸上是否存在點P，使△PBD的周長最�。咳舸嬖�，求出點P的坐標和△PBD的周長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：①∵AC=6，D為AC的中點，
∴CD=3，
∵AB=OC=4，
∴點D的坐標為（4，3），
在△ABD與△ECD中，
∵
∴△ABD≌△ECD
∴CE=AB=4，
∴點E的坐標為（8，0），
②∵OB=AC=6，
∴點B的坐標為（0，6）
設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=k₁x+b，
∵經(jīng)過點B和點E，
∴
解得：
∴一次函數(shù)的解析式為y=-x+6
設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=
∵經(jīng)過點D（4，3）
∴k₂=3×4=12
∴反比例函數(shù)的解析式為y=；
③△PBD中，BD恒等于10，要使△PBD周長最小，即要使BP+PD最�。�
如圖，作D關(guān)于x軸對稱點D′，連BD′交x軸于點P，連PD，此時，△PBD周長最�。�
∵D（4，3），
∴D'（4，-3），
∴AB=4，AD′=9
∴由勾股定理得BD′==，
∵AD′∥BO
∴△OBP∽△CD′P
∴=
即：
∵OC=4，
∴PO=OC=
∴點P的坐標為（，0）．
此時△PBD的周長為BD+BD′=5+．
分析：①根據(jù)D為AC的中點且AC=6求得CD=3，根據(jù)AB=OC=4，從而得到點D的坐標，然后根據(jù)全等三角形求得CE=AB=4，從而得到OE=8，進而得到點E的坐標；
②利用待定系數(shù)法分別根據(jù)求得的點的坐標求得一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式即可；
③因BD長度固定，要使△PBD周長最小，只需PB+PD最�。�作D關(guān)于x軸的對稱點D′，連接BD′，交x軸于P點，根據(jù)對稱性及兩點之間線段最短說明存在P點．
點評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，坐標系內(nèi)求點的坐標、利用作圖求最小值等知識點，綜合性很強，利用軸對稱得出△PDB周長最小時P的位置是解題關(guān)鍵．